$\boxed{\text{Bài toán 442}}$
Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.
$\boxed{\text{Bài toán 443}}$
Cho tam giác $ABC$.Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$.Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B',C'$. Gọi $A", B",C"$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP,PM,MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A",B",C"$ thứ tự song song với $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$
$\boxed{\text{Bài toán 444}}$
Ch0 $p$ là số nguyên tố lẻ và dãy $\{a_n\}_{(n\geq 0)}$ xác định bởi : $a_0=0,a_1=1,a_2=2,...,a_{p-2}=p-2$. $\forall n\geq p-1$, $a_n$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n-1}$ sao cho trong dãy $\{a_n\}$ không có dãy con $p$ phần tử nào tạo thành cấp số cộng.
Chứng minh rằng $\forall \,\, n, \, a_n$ nhân được bằng cách viết $n$ dưới dạng cơ số $p-1$ nhưng lại đọc trong cơ số $p$
$\boxed{\text{Bài toán 445}}$
Cho $P_1,P_2,...,P_n$ là $n$ điểm trên mặt phẳng.
$A=\, \{M\, | \, MP_1.MP_2....MP_n\leq 1\}$
Chứng minh có thể phủ $A$ bởi $n$ hình tròn có tổng bán kính $\leq 6$
$\boxed{\text{Bài toán 446}}$
Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$
Tìm $\lim u_{n}$
$\boxed{\text{Bài toán 447}}$
Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$ với $a,b \in \mathbb{N}$
$\boxed{\text{Bài toán 448}}$
Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thoả mãn : $ n^2 \mid 3^{n} + 1 $
$\boxed{\text{Bài toán 449}}$
Chứng minh rằng dãy ${u_n}$ tuần hoàn (cộng tính) chu kì 2 khi và chỉ khi dãy có dạng
${u_n}=\frac{1}{2}(a+b+(a-b)(-1)^{n+1})$,a,b là các số thực
$\boxed{\text{Bài toán 450}}$
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.
$\boxed{\text{Bài toán 451}}$
Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :
$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
Trong đó a là số thực cho trước.
$\boxed{\text{Bài toán 452}}$
Chứng minh rằng không tồn tại $n\in \mathbb{N},10^{3n+1}=a^{3}+b^{3}\;\;(a,b\epsilon \mathbb{N}^*)$
$\boxed{\text{Bài toán 453}}$
Cho số nguyên $n > 1$
CMR: $$\sqrt{n^2-1} +\sqrt{n^2-2^2} +... +\sqrt{n^2-(n-1)^2} < \pi .\frac{n^2}{4}$$
$\boxed{\text{Bài toán 454}}$
Gọi n là 1 số nguyên dương và : $ x_{1} ,...,x_{n}, y_{1} ,..., y_{n} $ là các số thực dương thỏa mãn tính chất sau :
Với mỗi tập con khác rỗng $S \subset {1,2,...,n} $ thì tồn tại một tập con khác không rỗng $T \subset {1,2,...,n} $ và :
$ \dfrac{ \sum _{i \in T} x_{i} }{ \sum _{i \in T} y_{i} }=\dfrac{ \sum _{i \in S} y_{i} }{ \sum _{i \in S} x_{i} } $.
Chứng minh rằng: Với mọi $i=1,2,...,n$ thì tồn tại $j$ sao cho :
$ x_{j} = y_{i} $ và : $ y_{j} = x_{i}. $
$\boxed{\text{Bài toán 455}}$
Xét bảng ô vuông $4\times 4 $. Ngưòi ta điền vào mỗi ô của bảng một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng $0$. Hỏi có bao nhiêu cách ?
$\boxed{\text{Bài toán 456}}$
Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$
$\boxed{\text{Bài toán 457}}$
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(\omega )$. $I$ là tâm nội tiếp $\Delta ABC$. $AI,BI,CI$ cắt $(\omega )$ ở $A',B',C'$. M thuộc cạnh $AB$. Đường qua M song song $AI$ cắt đường qua B vuông góc $BI$ ở $A_{1}$. Đường qua M song song $BI$ cắt đường qua A vuông góc $AI$ ở $B_{1}$.
CMR: $A'A_{1};B'B_{1};C'M$ đồng quy.
$\boxed{\text{Bài toán 458}}$
Tìm tất cả các hàm $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}.$
$\boxed{\text{Bài toán 459}}$
Cho các số nguyên tố $ p ; q $ và số nguyên dương $r$ thỏa mãn các điều kiện :
$ p > r^{q-1} \ ; \ q| (p-1) \ ; \ q \not | r$
Giả sử tồn tại $r$ số nguyên $ a_1 ; a_2 ; ...; a_r$ sao cho : $ \sum_{i=1}^{r} a^{\dfrac{p-1}{q}}_i \ \equiv 0 \ \ ( mod \ \ p)$
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$
$\boxed{\text{Bài toán 460}}$
Cho đa thức $P(x)=x^{3}-6x+9$ và $P_{n}(x)=P(P(...(P(x)))...)$ (n dấu ngoặc)
Tìm số nghiệm của $P(x)$ và $P_{n}(x)$
$\boxed{\text{Bài toán 461}}$
Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$.
Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$ để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j} \right |\leq 2$