Bài 2.
Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ và hai điểm $E, F$ thỏa mãn $AE, AF$ đẳng giác góc $BAC$. $BE$ cắt $CF$ tại $P$, $BF$ cắt $CE$ tại $Q$. Khi đó $AP, AQ$ đẳng giác góc $BAC$
Chứng minh.
Biến đổi tỉ số kép: $A(EP, BC)=C(EP, BA)=C(QF, BA)=A(QF, BC)=A(FQ, CB)$ nên $AP, AQ$ đẳng giác góc $BAC$
Hệ thức Maclaurin mở rộng: Cho $A, B, C, D, E$ nằm trên một đường thẳng, khi đó: $\overline{AB}.\overline{AC}=\overline{AD}.\overline{AE}\Leftrightarrow \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}$
Áp dụng bổ đề trên cho tam giác $APP*$ với $AQ, AQ*$ đẳng giác góc $PAP*$ ta suy ra $AR, AR*$ đẳng giác góc $PAP*$ nên đẳng giác góc $BAC$
Tương tự với các góc còn lại ta suy ra $R, R*$ đẳng giác trong tam giác $ABC$
Gọi $P_a, P*_a, Q_a, Q*_a, R_a, R*_a$ là hình chiếu của $P, P*, Q, Q*, R, R*$ trên $BC$
Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{\overline{R_aP_a}}{\overline{R_aP*_a}}.\dfrac{\overline{R*_aP_a}}{\overline{R*_aP*_a}}=\dfrac{\overline{Q_aP_a}}{\overline{Q_aP*_a}}.\dfrac{\overline{Q*_aP_a}}{\overline{Q*_aP*_a}}$
Nhóm theo từng cặp trên các hình thang, điều này tương đương với: $\dfrac{\overline{RP}}{\overline{QP}}.\dfrac{\overline{R*P}}{\overline{Q*P}}=\dfrac{\overline{RP*}}{\overline{Q*P*}}.\dfrac{\overline{R*P*}}{\overline{QP*}}$, điều này hiển nhiên đúng.
Gọi $W$ là giao điểm của trục đẳng phương của hai đường tròn pedal ứng với $P, Q$ và $BC$
Khi đó $\overline{WP_a}.\overline{WP*_a}=\overline{WQ_a}.\overline{WQ*_a}$ nên theo hệ thức Maclaurin mở rộng, ta có:
$$\dfrac{\overline{WP_a}}{\overline{WP*_a}}=\dfrac{\overline{Q_aP_a}}{\overline{Q_aP*_a}}.\dfrac{\overline{Q*_aP_a}}{\overline{Q*_aP*_a}}=\dfrac{\overline{R_aP_a}}{\overline{R_aP*_a}}.\dfrac{\overline{R*_aP_a}}{\overline{R*_aP*_a}}$$
Vậy theo hệ thức Maclaurin mở rộng ta lại có: $\overline{WP_a}.\overline{WP*_a}=\overline{WR_a}.\overline{WR*_a}$
Do đó $W$ là tâm đẳng phương của đường tròn pedal của ba điểm $P, Q, R$
Trục đẳng phương của hai đường tròn pedal ứng với $P, Q$ phải cắt ít nhất một cạnh nữa của tam giác $ABC$
Làm tương tự với cạnh đó ta được điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 10-07-2017 - 23:06