Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 2 tháng 7/2017: Chứng minh rằng $PQ$ và $IF$ cắt nhau trên $(O)$.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 7 năm 2017 đã được đưa ra tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Ngô Quang Dương. Xin được trích dẫn lại hai bài toán mới:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tâm nội tiếp $(I)$. $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. Lấy $E$ thuộc đoạn $BC$ và $F$ thuộc jung nhỏ $\angle CD$ sao cho $\angle EAB= \angle FAC$. Lấy $M$ thuộc $IF$ sao cho $DM \parallel BC$. Lấy $N$ đối xứng $D$ qua $OM$. $AN$ cắt $DE$ tại $P$. Lấy $Q$ thuộc $AF$ sao cho $DQ \parallel IE$. Chứng minh rằng $PQ$ và $IF$ cắt nhau trên $(O)$.

 

Screen Shot 2017-07-10 at 3.35.20 PM.png

 

Bài 2. (Ngô Quang Dương) Cho $(P,P*)$ và $(Q,Q*)$ là hai cặp điểm đẳng giác với tam giác $ABC$. $R$ là giao điểm của $PQ$ và $P*Q*$ trong khi $R*$ là giao điểm của $PQ*$ và $QP*$. Chứng minh rằng $(R,R*)$ là cặp điểm đẳng giác với $ABC$ và đường tròn pedal của $P,Q,R$ với tam giác $ABC$ đồng trục.

 

Screen Shot 2017-07-10 at 3.39.24 PM.png


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 1. Gọi $G$ là giao điểm của $FI$ với $(O)$. $AD$ cắt $BC$ tại $D'$.

$DG$ cắt $AE$ tại $T$ thì $IT || BC$. Do đó $\dfrac{TE}{TA}=\dfrac{ID'}{IA}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{DI}{DA}$

Do đó $DT$ chia đôi $IE$ tại trung điểm $R$ nên $D(GQ, PA)=-1$ mà $GFDN$ là tứ giác điều hòa nên $A(GQ, PD)=-1$ hay $D(GQ, PA)=A(GQ, PD)$

Do đó $P, Q, G$ thẳng hàng nên ta có điều phải chứng minh.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
dangkhuong

dangkhuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

hih297.png

 

Lời giải bài 1 của em: Bổ đề: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ tâm nội tiếp $I$, $AI\cap (O)=A,D$. $E,F$ lần lượt thuộc $BC$ cung $DC$ không chứa $A$ của $(O)$ sao cho: $\angle FAC=\angle EAB$. $J$ trung điểm $IE$. Khi đó $DJ$ cắt $IF$ trên $(O)$.
 

Chứng minh bổ đề: Gọi $P$ tâm bàng tiếp góc $\angle BAC$ của tam giác $ABC$. Ta dễ thấy rằng: $AE.AF=AB.AC=AI.AP$ do đó $\bigtriangleup AEP\sim \bigtriangleup AIF$ nên chú ý $D$ trung điểm $IP$ nên $\angle ADJ=\angle APE=\angle AFI$ do đó $JD$ cắt $IF$ trên $(O)$.

 

Quay trở lại bài toán, gọi $J$ trung điểm $IE$, do $OD\perp DM$ nên $MD$ tiếp xúc $(O)$ hay $NM$ cũng tiếp xúc $(O)$. Áp dụng bổ đề thì: $JD$ cắt $IF$ trên $(O)$ tại điểm $G\neq F,D$, lấy $K=GQ\cap AD$.

Lại : $G,I,F,M$ thẳng hàng do đó $GDFN$ 1 tứ giác điều hoà do đó: $A(GF,IN)=-1=A(GQ,IP)$ suy ra $(PK,QG)=-1$. Gọi $DE\cap GQ=P'$, do $DG$ chia đôi $IE$ $DQ\| IE$ nên $D(EI,QG)=-1=D(P'K,QG)$ suy ra $(P'K,QG)=-1$ do đó $P\equiv P'$ thế nên $G,P,Q$ thẳng hàng. Vậy $IF$ cắt $PQ$ trên $(O)$ tại $G$(điều phải chứng minh).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 10-07-2017 - 17:37

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 2.

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ và hai điểm $E, F$ thỏa mãn $AE, AF$ đẳng giác góc $BAC$. $BE$ cắt $CF$ tại $P$, $BF$ cắt $CE$ tại $Q$. Khi đó $AP, AQ$ đẳng giác góc $BAC$

Chứng minh.

Biến đổi tỉ số kép: $A(EP, BC)=C(EP, BA)=C(QF, BA)=A(QF, BC)=A(FQ, CB)$ nên $AP, AQ$ đẳng giác góc $BAC$

 

Hệ thức Maclaurin mở rộng: Cho $A, B, C, D, E$ nằm trên một đường thẳng, khi đó: $\overline{AB}.\overline{AC}=\overline{AD}.\overline{AE}\Leftrightarrow \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}$

 

Áp dụng bổ đề trên cho tam giác $APP*$ với $AQ, AQ*$ đẳng giác góc $PAP*$ ta suy ra $AR, AR*$ đẳng giác góc $PAP*$ nên đẳng giác góc $BAC$

Tương tự với các góc còn lại ta suy ra $R, R*$ đẳng giác trong tam giác $ABC$

Gọi $P_a, P*_a, Q_a, Q*_a, R_a, R*_a$ là hình chiếu của $P, P*, Q, Q*, R, R*$ trên $BC$

Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{\overline{R_aP_a}}{\overline{R_aP*_a}}.\dfrac{\overline{R*_aP_a}}{\overline{R*_aP*_a}}=\dfrac{\overline{Q_aP_a}}{\overline{Q_aP*_a}}.\dfrac{\overline{Q*_aP_a}}{\overline{Q*_aP*_a}}$

Nhóm theo từng cặp trên các hình thang, điều này tương đương với: $\dfrac{\overline{RP}}{\overline{QP}}.\dfrac{\overline{R*P}}{\overline{Q*P}}=\dfrac{\overline{RP*}}{\overline{Q*P*}}.\dfrac{\overline{R*P*}}{\overline{QP*}}$, điều này hiển nhiên đúng.

Gọi $W$ là giao điểm của trục đẳng phương của hai đường tròn pedal ứng với $P, Q$ và $BC$

Khi đó $\overline{WP_a}.\overline{WP*_a}=\overline{WQ_a}.\overline{WQ*_a}$ nên theo hệ thức Maclaurin mở rộng, ta có:

$$\dfrac{\overline{WP_a}}{\overline{WP*_a}}=\dfrac{\overline{Q_aP_a}}{\overline{Q_aP*_a}}.\dfrac{\overline{Q*_aP_a}}{\overline{Q*_aP*_a}}=\dfrac{\overline{R_aP_a}}{\overline{R_aP*_a}}.\dfrac{\overline{R*_aP_a}}{\overline{R*_aP*_a}}$$

Vậy theo hệ thức Maclaurin mở rộng ta lại có: $\overline{WP_a}.\overline{WP*_a}=\overline{WR_a}.\overline{WR*_a}$

Do đó $W$ là tâm đẳng phương của đường tròn pedal của ba điểm $P, Q, R$

Trục đẳng phương của hai đường tròn pedal ứng với $P, Q$ phải cắt ít nhất một cạnh nữa của tam giác $ABC$

Làm tương tự với cạnh đó ta được điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 10-07-2017 - 23:06

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
Đặng Minh Mẫn

Đặng Minh Mẫn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Mọi người ơi cho mình hỏi:

Mình thấy có một số ký hiệu mà các bạn sử dụng ví dụ như D(GQ,PA) = -1, A(GQ,PD) = -1, .... có nghĩa là gì vậy?

Mình có lên diễn đàn tìm đọc các tài liệu nhưng không thấy.

Mọi người giải thích giùm mình với, mình xin cảm ơn







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh