Chủ đề này có 1 trả lời

[Element hero Neos]

Cho số thực a và xét dãy số $\left\{x_n\right\}:\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_2=0\\ x_{n+2}=\frac{x_n^2+x_{n+1}^2}{4}+a,\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$. Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho dãy $\left\{x_n\right\}$ hội tụ.

[nhungvienkimcuong]

Cho số thực a và xét dãy số $\left\{x_n\right\}:\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_2=0\\ x_{n+2}=\frac{x_n^2+x_{n+1}^2}{4}+a,\forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$. Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho dãy $\left\{x_n\right\}$ hội tụ.

nếu dãy hội tụ giả sử là $\lim x_n=L$ thì từ đề cho ta có

$L=\frac{L^2}{2}+a\Rightarrow a\le \frac{1}{2}$

ta chứng minh $a=\frac{1}{2}$ thì dãy hội tụ

dễ thấy với 

$x_{n+2}=\frac{x_{n+1}^2+x_n^2}{4}+\frac{1}{2}\Rightarrow 0\le x_n\le 1$

ta có 

$x_{n+2}-1=\frac{1}{4}\left ( (x_{n+1}-1)(x_{n+1}+1)+(x_n-1)(x_n+1) \right )$

$\Rightarrow \left | x_{n+2}-1 \right |\le \frac{1}{2}\left ( \left | x_{n+1}-1 \right |+\left | x_n-1 \right | \right )$

tới đây là bài toán quen thuộc nên dễ thấy tồn tại $\lim \left | x_n-1 \right |=x\Rightarrow \lim x_n=1-x$ tới đây thì được rồi

về bài toán quen thuộc có thể tham khảo thêm ở đây   giới hạn của một dãy số dạng trung bình và ứng dụng.pdf   255.1K   116 Số lần tải