Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Kẻ $MM',NN',PP',QQ'$ lần lượt vuông góc với $CD,DA,AB,BC$. Chứng minh rang bốn đường thẳng $MM',NN',PP',QQ'$ đồng quy. Nhận xét về điểm đồng quy và hai điểm $I$,$O$ ($I$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$)
#1
Đã gửi 10-07-2017 - 19:52
#2
Đã gửi 10-07-2017 - 20:08
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Kẻ $MM',NN',PP',QQ'$ lần lượt vuông góc với $CD,DA,AB,BC$. Chứng minh rang bốn đường thẳng $MM',NN',PP',QQ'$ đồng quy. Nhận xét về điểm đồng quy và hai điểm $I$,$O$ ($I$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$)
Ta cần chứng minh tồn tại điểm $H$ thuộc đường thẳng $MM',NN',PP',QQ'$. Vì $OP\perp CD$ (do $OC=OD$) nên điểm $H$ thuộc đường thẳng $MM'$ khi có số thực $t$ sao cho $\underset{HM}{\rightarrow}=t\underset{OP}{\rightarrow}$
Mà $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên
$\underset{HM}{\rightarrow}=\frac{\underset{HA}{\rightarrow}+\underset{HB}{\rightarrow}}{2}$;$\underset{OP}{\rightarrow}=\frac{\underset{OC}{\rightarrow}+\underset{OD}{\rightarrow}}{2}$. Vì vậy $\underset{HM}{\rightarrow}=t\underset{OP}{\rightarrow}$ hay $\underset{HM}{\rightarrow}=\frac{\underset{HA}{\rightarrow}+\underset{HB}{\rightarrow}}{2}=t(\underset{OP}{\rightarrow}=\frac{\underset{OC}{\rightarrow}+\underset{OD}{\rightarrow})}{2}$
$\Leftrightarrow \underset{HO}{\rightarrow}+\underset{OA}{\rightarrow}+\underset{HO}{\rightarrow}+\underset{OB}{\rightarrow}=t(\underset{OC}{\rightarrow}+\underset{OD}{\rightarrow})\Leftrightarrow 2\underset{OH}{\rightarrow}=\underset{OA}{\rightarrow}+\underset{OB}{\rightarrow}-t\underset{OC}{\rightarrow}-t\underset{OD}{\rightarrow}$
Vì các điểm $A,B,C,D$ trong bài có vai trò bình đẳng nên chọn $t=-1$. Khi đó: $2\underset{OH}{\rightarrow}=\underset{OA}{\rightarrow}+\underset{OB}{\rightarrow}+\underset{OC}{\rightarrow}+\underset{OD}{\rightarrow}$ hay $2\underset{OH}{\rightarrow}=4\underset{OI}{\rightarrow}$ (Dễ thấy $I$ là trọng tâm của tứ giác $ABCD$)$\Leftrightarrow \underset{OH}{\rightarrow}=2\underset{OI}{\rightarrow}$
Vậy $H$ là điểm đối xứng của $O$ qua $I$
- Sketchpad3356 và slenderman123 thích
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vector
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh