Địa phương hóa là một động tác thường được sử dụng trong lý thuyết số đại số và đại số giao hoán, nhưng trong các graduate text thường được bỏ qua. Tuy nhiên, không phải vì thế mà ta cũng bỏ qua luôn. Mục đích của topic này là để anh em trên diễn đàn đang học lý thuyết số hay đại số giao hoán có thể tìm thấy các chứng minh cho chúng. Chúng không hề đơn giản theo nghĩa nếu hỏi một tiến sĩ nào đó thì không thể đưa ra câu trả lời ngay lập tức. Vì mình mong topic này sẽ là "self-contained" ở một mức nào đó để đóng góp được cho diễn đàn nên hi vọng mọi người hạn chế trích dẫn từ nơi khác mà chỉ trích dẫn từ wiki và sách.
Nhắc lại về cách địa phương hóa được sử dụng. Cho $A$ là một vành giao hoán có $1$ và $M$ là một $A-$môđun. Với mỗi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $A$, kí hiệu $A_{\mathfrak{p}}$ và $M_{\mathfrak{p}}$ lần lượt là địa phương hóa của vành $A$ và môđun $M$ tại $\mathfrak{p}$. Tư tưởng của địa phương hóa như sau. Để chứng minh rằng $A$ hay $M$ có tính chất $P$, ta chứng minh rằng $A_{\mathfrak{p}}$ hay $M_{\mathfrak{p}}$ có tính chất P. Muốn làm được như vậy, ta có thể thiết lập một mệnh đề làm cầu nối giữa chúng, kiểu như sau. Vành $A$ hay $M$ có tính chất $P$ nếu và chỉ nếu $A_{\mathfrak{p}}$ hay $M_{p}$ có tính chất $P$. Khi đó ta nói rằng $P$ có tính chất địa phương. Ví dụ:
Mệnh đề 3.8 (sách Atiyah-Macdonald): Cho $M$ là một $A-$môđun. Thế thì các điều sau là tương đương:
i) $M=0$;
ii) $M_{\mathfrak{p}}=0$ với mọi iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}$ của $A$;
iii) $M_{\mathfrak{m}}=0$ với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của $A$.
Như vậy, chẳng hạn nếu $A$ là một miền Dedekind, thay vì chứng minh $M=0$ với giả thiết ban đầu của $A$, ta chỉ cần chứng minh $M=0$ với giả thiết $A$ là một vành định giá rời rạc (d.v.r) vì $A_{\mathfrak{p}}$ là một d.v.r với mọi $\mathfrak{p}$. Đây là chỗ mà các graduate text thường bỏ qua và thiết lập các mệnh đề như vậy là mục tiêu của topic này. Như vậy, mọi người chỉ cần gửi $P$ vào topic này thì chúng ta đều hiểu cần phải làm gì! Câu hỏi đầu tiên:
Câu hỏi (xem [Serre, Local fields, trang 47]): Cho $A$ là một miền Dedekind với trường các thương $K$. Cho $V$ là một $K-$không gian vector hữu hạn chiều. Một dàn $X$ của $V$ là một $A-$môđun con của $V$ sao cho nó là hữu hạn sinh xem như một $A-$môđun và sinh $V$ xem như $K-$kgvt. Cho 2 dàn $X_2 \subset X_1$ của $V$. Thế thì $X_1/ X_2$ là một môđun độ dài hữu hạn (xem https://en.wikipedia...gth_of_a_module). Xét một chuỗi hợp thành của một môđun độ dài hữu hạn $M$
$$0=M_0 \subset M_1 \subset ... \subset M_n=M,$$
với $$M_{i}/M_{i-1} \cong A/\mathfrak{p}_i.$$
Ta định nghĩa $$\chi(M)=\prod_{i=1}^{n} \mathfrak{p}_i,$$ và định nghĩa này tốt vì các $\mathfrak{p}_i$ không phụ thuộc vào chuỗi hợp thành, do định lý Jordan-Holder. Như vậy, ta định nghĩa được $\chi(X_1/X_2)$. Với $X_1,X_2$ bất kì, $\chi(X_1/X_3).\chi(X_2/X_3)^{-1}$ với $X_3 \subset X_1 \cap X_2$ (chẳng hạn $X_3=X_1 \cap X_2$) chỉ phụ thuộc vào $X_1,X_2$ và ta định nghĩa nó là $\chi(X_1,X_2)$. Giờ ta vào vấn đề chính:
Mệnh đề: Cho $u$ là một đẳng cấu của $K-$kgvt $V$ và $X$ là một dàn của $V$, thì $\chi(X,uX)=(det(u))$.
Serre nói rằng có thể giảm xuống trường hợp $X=A^n$ và $uX \subset$ bằng địa phương hóa và nhân thêm $u$ một hằng số. Mình sẽ thảo luận thêm chỗ mình tắc nếu có người quan tâm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 16-07-2017 - 18:30