Mình post lời giải bài $3$ của mình thử :
$3)$ Theo quy nạp , với bước trực giao thứ $k$ giả sử đúng ta sẽ tìm $P'_{k}$ dưới dạng
$$P_{k} = \lambda_{0}^{k}P'_{0}+...+\lambda_{k-1}^{k}P'_{k-1}+X^{k}$$ ( ở đây $P'_{i}$ với $i<k$ sai khác đa thức Legendre một nhân tử khác $0$ )
Trong đó các hệ số được xác định duy nhất do tính trực giao với hệ vecto $P'_{0},...P'_{k-1}$
$$\lambda_{i}^{k} = \frac{-<X^{k},P'_{i}>}{<P'_{i},P'_{i}>}$$
Ta xem xét bổ đề sau :
Cho đa thức bậc $n$ nào đó sao cho $H_{n}(x)$ trực giao với các đa thức $1,X,...X^{n-1}$ thì $H_{n}(x)$ sai khác đa thức Legendre $P_{n}(x)$ một nhân tử thực
Chứng minh :
Dễ thấy hệ Legendre là một hệ trực giao với tích vô hướng $\int_{-1}^{1}P_{m}P_{n} = 0 \forall m \neq n$ nên nó là một cơ sở . Biểu diễn :
$$H_{n}(X) = a_{n}P_{n}+...+a_{0}P_{0}$$
Lấy tích vô hướng với tất cả $P_{0},..P_{n-1}$ cho ta $H_{n}=a_{n}P_{n}$
Áp dụng bổ đề vào $P'_{k}$ ta thấy $P'_{k}$ bản thân nó đã trực giao với $P_{0},...P_{k-1}$ nhưng hệ này lại là cơ sở nên có ma trận chuyển cơ sở sang $(1,X,...X^{k-1})$ và do đó $P'_{k}$ trực giao với $(1,X,...X^{k-1})$ , theo bổ đề trên nó sai khác đa thức Legendre thứ $n$ một nhân tử khác $0$ .
Vậy không biết vô tình hay ntn nhưng mỗi một loại tích vô hướng và trực giao hóa lên hệ cơ sở chính tắc lại cho ta một loại đa thức mới
$2)$ Mình có cái bài $2$ này chả hiểu cái không suy biến làm cái gì luôn , không suy biến tức là $ker=0$ . Ở bài này ta thấy $\sigma,\phi$ là các biến đổi đối xứng không âm . Nên có thể đưa về hai hệ trực chuẩn sao cho ma trận của $2$ ánh xạ này là ma trận chỉ có các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng ( không âm ) còn lại bằng không . Vậy tách ma trận này làm đôi ta suy ra tồn tại $h,k$ cũng đối xứng không âm sao cho $h^{2}=\sigma , k^{2}=\phi$ . Giờ gọi $\alpha \neq 0 $ là một vecto riêng của $\sigma \phi$ ứng với giá trị riêng $\lambda$ , ta có
$$< \sigma \phi ( \alpha ) , \phi ( \alpha) > = \lambda < \alpha , \phi(\alpha) >$$
$$<h^{2}(\phi (\alpha)) , \phi(\alpha) > = \lambda < \alpha , \phi(\alpha)>$$
$$<h(\phi(\alpha)) , h(\phi(\alpha)) > = \lambda < \alpha , \phi(\alpha) >$$
Ta thấy nếu $<\alpha,\phi(\alpha)> \neq 0$ thì hiển nhiên $\lambda$ là số thực không âm . Còn không $<k(\alpha),k(\alpha)> = <\alpha,\phi(\alpha)>=0 => k(\alpha)=0 => \phi(\alpha)=0 => 0 = \sigma(\phi(\alpha)) = \lambda \alpha => \lambda = 0$
Vậy điều kiện suy biến với không suy biến làm gì có nghĩa gì ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-07-2017 - 20:14
