Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $Min$ của: $x^2+y^2+2z^2$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Sketchpad3356

Sketchpad3356

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 0$ sao cho không có hai số nào cùng bằng 0 đồng thời. Chứng minh: 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+3\sqrt{3}.\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm $Min$ của: $x^2+y^2+2z^2$



#2
slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Câu 2: Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có: $(1+1+\frac{1}{2})(x^{2}+y^{2}+2z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)=3\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2z^{2}\geq \frac{6}{5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 17-07-2017 - 15:11

Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#3
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Câu 2: Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có: $(1+1+\frac{1}{2})(x^{2}+y^{2}+2z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)=3\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2z^{2}\geq \frac{6}{5}$

 

Sai! Vì dấu '=' không xảy ra

 

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 0$ sao cho không có hai số nào cùng bằng 0 đồng thời. Chứng minh: 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+3\sqrt{3}.\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm $Min$ của: $x^2+y^2+2z^2$

 

Bài 1: 

Bổ đề 1: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$ với $a,b,c\geq 0$

Chứng minh: 

Ta có: $(ab+bc+ca)(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})=a^2+b^2+c^2+abc(\sum \frac{1}{b+c})\geq a^2+b^2+c^2\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

Bổ đề 2: $\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}+\sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}}+\sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}}\geq 1$ với $a,b,c\geq 0$

Chứng minh:

Theo $Am-Gm$, ta có: $\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}=\sqrt{\frac{ab(2ab+2bc+2ca)^2}{4(a+c)(b+c)(ab+bc+ca)^2}}=\sqrt{\frac{ab(a(b+c)+b(a+c))^2}{4(a+c)(b+c)(ab+bc+ca)^2}}\geq \sqrt{\frac{ab.4a(b+c).b(a+c)}{4(a+c)(b+c)(ab+bc+ca)^2}}=\frac{ab}{ab+bc+ca}$

Tương tự, ta có: $\sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}}\geq \frac{bc}{ab+bc+ca};\sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}}\geq \frac{ca}{ab+bc+ca}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}+\sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}}+\sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}}\geq \frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1$

Trở lại bài:

Sử dung các bổ đề trên, ta có: $(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}})^2=\sum \frac{a}{b+c}+2\sum \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2$

Đặt $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}=t(t\geq 1)$. BĐT cần chứng minh trở thành: $\sqrt{t^2+2}+\frac{3\sqrt{3}}{t}\geq \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Khảo sát hàm số $f(t)=\sqrt{t^2+2}+\frac{3\sqrt{3}}{t}$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 2: Đặt $a=\frac{1}{\sqrt[4]{5}};b=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt[4]{5}}$$\Rightarrow a^2+2ab=1$ và $a^2=ab+b^2$

Theo $Am-Gm$, ta có: $ab(x^2+y^2)\geq 2abxy;b^2y^2+a^2z^2\geq 2abyz;b^2x^2+a^2z^2\geq 2abxz$

$\Rightarrow 2ab(xy+yz+zx)\leq ab(x^2+y^2)+(b^2y^2+a^2z^2)+(b^2x^2+a^2z^2)$

$\Leftrightarrow 2ab\leq ab(x^2+y^2)+(b^2y^2+a^2z^2)+(b^2x^2+a^2z^2)$ (Vì $xy+yz+zx=1$)

Lại có: $ab(x^2+y^2)+(b^2y^2+a^2z^2)+(b^2x^2+a^2z^2)=(ab+b^2)(x^2+y^2)+2a^2z^2=a^2(x^2+y^2)+2a^2z^2=a^2(x^2+y^2+2z^2)$

$\Rightarrow 2ab\leq a^2(x^2+y^2+2z^2)\Rightarrow x^2+y^2+2z^2\geq \frac{2ab}{a^2}=\frac{2b}{a}=\sqrt{5}-1$

Dấu '=' xảy ra khi: $x=y=\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ và $z=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt[4]{5}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 17-07-2017 - 16:02

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm $Min$ của: $x^2+y^2+2z^2$

 

Bài toán tổng quát của bài này anh đã từng giải trên diễn đàn (dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Ngoài ra ta có

\[x^2+y^2+2z^2 - (\sqrt5-1)(xy+xz+yz) = \frac14\left(  \sqrt{5}y+ \sqrt{5}z-2x-y-z \right) ^{2}+\frac18\left(\sqrt{5}-1 \right)  \left(  \sqrt{5}z-2y+z \right) ^{2}.\]
 


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#5
hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 240 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 0$ sao cho không có hai số nào cùng bằng 0 đồng thời. Chứng minh: 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+3\sqrt{3}.\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm $Min$ của: $x^2+y^2+2z^2$

Bai 2

Hình gửi kèm

  • BDT 27.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh