Bài 1:Cho dãy số $2^k-1 (k=\overline{1,+\infty})$ luôn tìm được $n$ số hạng liên tiếp đều là các hợp số.
Lời giải:
Trước ta có nhận xét rằng nếu $m$ là hợp số thì $2^m-1$ cũng là hợp số.Thật vậy do $m$ là hợp số nên $\exists a,b$ ($a,b>1$) sao cho $m=a.b$
Khi đó $2^m-1 \vdots 2^a-1$ nên là hợp số.Nhận xét chứng minh xong!
Quay lại bài toán.
Ta nhận thấy dãy số gồm $n$ số hạng sau đều là hợp số:$(n+1)!+2;(n+1)!+3;...;(n+1)!+n+1$ vì $(n+1)!+k \vdots k (\forall k=\overline{2,n+1})$
Do đó theo nhận xét trên ta xây dựng được dãy gồm $n$ số hạng liên tiếp sau là hợp số:
$2^{(n+1)!+2}-1;2^{(n+1)!+3}-1;...;2^{(n+1)!+(n+1)}-1$
Suy ra đpcm
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
ALBERT EINSTEIN