Chủ đề này có 2 trả lời

[Murasaki Yasu]

Bài 1. Cho x,y,z>0. $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=2xyz$. Chứng minh: $\sqrt{x+y+z}\geqslant \sqrt{x-yz}+\sqrt{y-xz}+\sqrt{z-xy}$.

 

Bài 2. Cho x,y,z>0, xyz=1. Chứng minh: $\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}\geqslant 1$.

[Hoang Dinh Nhat]

 

Bài 2. Cho x,y,z>0, xyz=1. Chứng minh: $\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}\geqslant 1$.

Đặt $(x;y;z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$

BĐT cần chứng minh trở thành $\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c}+\frac{a}{2c+a}\geq 1\Leftrightarrow \frac{2(a^2c+ab^2+bc^2-3abc)}{(2a+b)(a+2c)(2b+c)}\geq 0$

BĐT này đúng do theo $AM-GM$, ta có: $a^2c+ab^2+bc^2\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc$

Dấu ''='' xảy ra khi: $x=y=z=1$

[Element hero Neos]

Bài 1. Cho x,y,z>0. $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=2xyz$. Chứng minh: $\sqrt{x+y+z}\geqslant \sqrt{x-yz}+\sqrt{y-xz}+\sqrt{z-xy}$..

Giả thiết suy ra 

$2=\frac{2xyz}{xyz}=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia có

$\sqrt{x-yz}+\sqrt{y-zx}+\sqrt{z-xy}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{zx}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{xy}{z}}\leq\sqrt{(x+y+z).(1-\frac{xy}{z}+1-\frac{yz}{x}+1-\frac{zx}{y})}=\sqrt{x+y+z}$

Vậy .....