Cho dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=x_2=1\\ x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3} \end{matrix}\right.$
Chứng minh $x_n<\frac{25}{4},\forall n$
Cho dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=x_2=1\\ x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3} \end{matrix}\right.$
Chứng minh $x_n<\frac{25}{4},\forall n$
Cho dãy $(x_n):\left\{\begin{matrix} x_1=x_2=1\\ x_{n+1}=x_n+\frac{2\sqrt{x_{n-1}}}{n^3} \end{matrix}\right.$
Chứng minh $x_n<\frac{25}{4},\forall n$
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
(Bỏ qua các bước đơn giản, chỉ nhấn mạnh bước phức tạp nhất.)
Bỏ qua bước 1.
Giả sử BĐT đúng với mọi $k\le n.$ Ta chỉ kiểm tra trong trường hợp $n\ge 5.$
\[x_{n+1}=x_2+\frac{2\sqrt{x_1}}{2^3}+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{2\sqrt{x_{k}}}{k^3}=\frac{5}{4}+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{2\sqrt{x_{k}}}{k^3}.\]
Nhận xét:
\[\sum_{k=2}^{n-1}\frac{5}{k^3}<\sum_{k=3}^{n-1}\frac{5}{k^2}\le \sum_{k=2}^{n-1}\frac{5}{k(k-1}= 1-\frac{1}{n-1}<1.\]
Khi đó,
\[x_{n+1}<\frac{5}{4}+\sum_{k=3}^{n-1}\frac{5}{k^3}<\frac{25}{4}.\]
Đời người là một hành trình...
Chứng minh theo quy nạp rằng $x_n \leq \dfrac{25}{4}- \dfrac{5}{n}, n \geq 1$
Kiểm tra với $n=1,2$ đúng.
Sử dụng công thức truy hồi, ta cần chỉ ra
$$x_{n+1}<x_{n}+\dfrac{5}{n^3} \leq \dfrac{25}{4} - \dfrac{5}{n} + \dfrac{5}{n^3} \leq \dfrac{25}{4}- \dfrac{5}{n+1}, \forall n \geq 2$$
$$\Leftrightarrow n^2 \geq n+1,\forall n \geq 2$$
Từ đó ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 27-08-2017 - 00:38
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh