Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$

phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Nghiapnh1002

Nghiapnh1002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Cà Mau

Đã gửi 11-08-2017 - 10:49

Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:

$f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$



#2 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 18-08-2017 - 18:25

Đặt $f(0)=a$
$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$
$P(-x,y)-P(x,y) \Rightarrow f(x)=-f(-x),\forall x \neq 0$

$P(0,0): f(-a^2)=0 \Rightarrow f(a^2)=0$

$P(x,-a^2): f(x^2)=xf(x)-a^4$

$P(1,-a^2):-a^4=0 \Leftrightarrow a=0$

Kết hợp lại ta có $f(x^2)=xf(x)$ và $f(x)=-f(-x),\forall x$

$P(0,y): f(-f(y)^2)=-y^2$

$P(f(x),x): f(x)f(f(x))=x^2$

$P(f(x),y): f(f(x)^2-f(y)^2)=x^2-y^2$ 

Do đó $f$ toàn ánh. 

$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=f(x^2)+f(-f(y)^2)$

Mà $x^2$ và $f(y)^2$ toàn ánh trên $/mathBB{R^+}$ nên 

$f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y),\forall x,y \geq 0 (1)$

Từ $(1)$ thay $x \rightarrow x+y$ kết hợp $f$ lẻ ta có

$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y$

Từ đây ta tính $f((x+1)^2 )$ theo 2 cách.

$f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)f(x)+(x+1)f(1)$

$f((x+1)^2)=f(x^2)+f(2x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1)$

Do đó $f(x)=f(1)x$. Thay ngược lại có $f(1)=\pm 1$. 

Thử lại cả 2 hàm thoả mãn. Kết luận...



#3 Shaddoll

Shaddoll

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 07-01-2018 - 21:15

Đặt $f(0)=a$
$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$
$P(-x,y)-P(x,y) \Rightarrow f(x)=-f(-x),\forall x \neq 0$

$P(0,0): f(-a^2)=0 \Rightarrow f(a^2)=0$

$P(x,-a^2): f(x^2)=xf(x)-a^4$

$P(1,-a^2):-a^4=0 \Leftrightarrow a=0$

Kết hợp lại ta có $f(x^2)=xf(x)$ và $f(x)=-f(-x),\forall x$

$P(0,y): f(-f(y)^2)=-y^2$

$P(f(x),x): f(x)f(f(x))=x^2$

$P(f(x),y): f(f(x)^2-f(y)^2)=x^2-y^2$ 

Do đó $f$ toàn ánh. 

$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=f(x^2)+f(-f(y)^2)$

Mà $x^2$ và $f(y)^2$ toàn ánh trên $/mathBB{R^+}$ nên 

$f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y),\forall x,y \geq 0 (1)$

Từ $(1)$ thay $x \rightarrow x+y$ kết hợp $f$ lẻ ta có

$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y$

Từ đây ta tính $f((x+1)^2 )$ theo 2 cách.

$f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)f(x)+(x+1)f(1)$

$f((x+1)^2)=f(x^2)+f(2x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1)$

Do đó $f(x)=f(1)x$. Thay ngược lại có $f(1)=\pm 1$. 

Thử lại cả 2 hàm thoả mãn. Kết luận...

Dòng f(xy)=f(x)+f(y)=f(x)f(y),x,y0(1) là sao vậy bạn, làm sao để suy ra được


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shaddoll: 07-01-2018 - 21:28






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh