Đến nội dung

Hình ảnh

Ký hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầu tiên, ví dụ $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 5$, $S_{3} = 10$,

số học toán rời rạc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Ký hiệu $S_{n}$ là tổng của $n$ số nguyên tố đầu tiên, ví dụ $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 5$, $S_{3} = 10$, ... CMR giữa hai số $S_{n} $ và $S_{n+1}$ luôn có một số chính phương



#2
khgisongsong

khgisongsong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

với $n\leq 3$ bài toán đúng

xét $n\geq 4$

giả sử k tồn tại số tự nhiên a để $S_n\leq a^2$ và $S_{n+1}\geq a^2$

=> tồn tại số tự nhiên k thỏa mãn $k^2 < S_n < S_{n+1} < (k+1)^2$

=>$ S_{n+1}-S_n<2k+1 => p_{n+1} < 2k+1$ với $p_{n+1}$ là số nguyên tố thứ n+1

 

xét bài toán phụ với i>4 thì $S_i<(\frac{p_i+1}{2})^2$

 

với i=5, $S_i=2+3+5+7+11<(\frac{11+1}{2})^2$

với i>5: $S_i=S_{i-1}+p_i< (\frac{p_{i-1}+1}{2})^2+p_i$ mà $p_i\leq p_i-2$

=> $S_i< (\frac{p_i-1}{2})^2+p_i=(\frac{p_i+1}{2})^2$

vậy$ S_i<(\frac{p_i+1}{2})^2$ với mọi i >4

 

=>$ k^2< S_{n+1} < (\frac{p_{n+1}+1}{2})^2 =>  p_{n+1}>2k-1$

mà $p_{n+1} < 2k+1 => p_{n+1}=2k$ (vô lý )

vậy điều giả sử ban đầu là sai => dpcm


$\frac{(x!)^2.(-1)^x+1}{2x+1}\in Z $ (với $x\in N)<=>2x+1$ là số nguyên tố






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, toán rời rạc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh