Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức không đối xứng

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
OldMemories

OldMemories

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Cho a, b ,c dương thỏa mãn $ab + bc + ca =1$ . Tìm max

  $\frac{2(ab+1)}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)} + \frac{c}{c^{2}+1}$



#2
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

Cho a, b ,c dương thỏa mãn $ab + bc + ca =1$ . Tìm max

  $\frac{2(ab+1)}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)} + \frac{c}{c^{2}+1}$

Xin đóng góp 1 cách mà mình nghĩ ra :))

Ta có : $A=\frac{2(ab+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{c}{c^2+1}$

Thế $c=\frac{1-ab}{a+b}$ vào A , suy ra $A=\frac{2+2ab+a+b-a^2b-ab^2}{(a^2+1)(b^2+1)}=\frac{4-2(1-ab)+(a+b)(1-ab)}{(1-ab)^2+(a+b)^2}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 1-ab=x & & \\ a+b=y & & \end{matrix}\right.\rightarrow \Rightarrow A=\frac{4-2x+xy}{x^2+y^2}$

Ta dùng 2 hệ thức sau : $\left\{\begin{matrix} xy\leq \frac{\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2)-\frac{x^2}{\sqrt{3}} & & \\ y^2\geq 4-4x & & \end{matrix}\right.$

Thì $A=\frac{4-2x+xy}{x^2+y^2}\leq \frac{4-2x-\frac{x^2}{\sqrt{3}}}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\leq \frac{4-2x-\frac{x^2}{\sqrt{3}}}{x^2+4-4x}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta sẽ chứng minh :

$max_{A}=\frac{4+3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow \frac{4-2x-\frac{x^2}{\sqrt{3}}}{x^2+4-4x}+\frac{\sqrt{3}}{2}\leq \frac{4+3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow (2x+\sqrt{3}x-2\sqrt{3})^2\geq 0$ ( đúng )

Vậy $max_{A}=\frac{4+3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=2-\sqrt{3} & & \\ c=\sqrt{3} & & \end{matrix}\right.$ :)) :D :))


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh