Cho $E/F$ là mở rộng Galois , và $B$ là một trường trung gian của $E,F$ . Chứng minh rằng nếu $\sigma(B)=B$ với mọi $\sigma \in \mathbb{Gal}(E/F)$ thì $B/F$ là mở rộng Galois .
Lời giải của nó thì như sau : Gọi $p(x) \in \mathbb{F[x]}$ là một đa thức bất khả quy , có một nghiệm $\beta \in B$ , do $B \subset E$ nên $p(x)$ tách được và có mọi nghiệm trong $E$ . Gọi $\beta'$ là một nghiệm của $p(x)$ trong $E$ , ta có một ánh xạ $\pi : F(\beta) \to F(\beta')$ fix $F$ và $\pi(\beta)=\beta'$ . Bây giờ $\pi$ có thể mở rộng thành một $\sigma \in \mathbb{Gal}(E/F)$ do $E/F$ là Galois . Do đó $\beta' = \sigma(\beta) \in \sigma(B) = B$ nên $B$ chứa mọi nghiệm của $p(x)$ , do đó $B/F$ là Galois
Mình không hiểu đoạn $\pi$ mở rộng được thành $\sigma$ lắm ? Mình đoán là có thể trong định lý mở rộng đẳng cấu trường thì việc " trường phân rã " và " chứa trường phân rã " là không ảnh hưởng . @@ nhưng như vậy lại klq gì đến $E/F$ là Galois
Edited by bangbang1412, 16-08-2017 - 20:05.
