Chủ đề này có 2 trả lời

[bangbang1412]

Cho $M$ là module Noether , Artin và $M$ không phân tích được . Gọi $g$ là một tự đẳng cấu và $g = f_{1} + f_{2} + ... f_{n}$ trong đó $f_{i} \in Hom_{R}(M,M)$ . Chứng minh ít nhất một trong các $f_{i}$ phải là tự đẳng cấu

Chỉ ra phản ví dụ trong TH $M$ phân tích được , từ đó suy ra mọi module vừa Noether vừa Artin có phân tích duy nhất sai khác đẳng cấu thành tích các module không phân tích được .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-08-2017 - 20:24

[WhjteShadow]

Đầu tiên ta công nhận kết quả rằng nếu $M$ vừa Artin vừa Noether và $f$ là một tự đồng cấu của $M$ thì tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để

$$M = f^{n}(M) \oplus f^{-n}(0).$$

Vì $M$ là không phân tích được, nên với mọi $f$ là tự đồng cấu của $M$ ta có hoặc $f^{n}(M) = M$ hoặc $f^n(0)= 0$. Trường hợp đầu tiên, $f$ là toàn cấu từ đó là một đẳng cấu, trường hợp thứ hai $f$ là luỹ linh.

 

Vậy ta đã biết các $f_i$ đều là đẳng cấu hoặc luỹ linh. Quy nạp bài toán theo $n$. Với $n=2$ thì 

$$g = f_1 + f_2.$$

Suy ra

$$\text{Id} = g^{-1} f_1 + g^{-1}f_2.$$

Nếu $ g^{-1}f_1$ là một đẳng cấu thì $f_1$ cùng là đẳng cấu, xong luôn rồi. Ngược lại nó là luỹ linh thì tồn tại $n$ để 

$$( g^{-1} f_1)^n = 0.$$

Khi đó

$$\text{Id} = \text{Id} -  (g^{-1} f_1)^n = (\text{Id} -  g^{-1} f_1)( \text{Id}  + (g^{-1} f_1) + \cdots + (g^{-1} f_1)^{n-1}) $$

$$=g^{-1} f_2 ( \text{Id}  + (g^{-1} f_1) + \cdots + (g^{-1} f_1)^{n-1}) $$

Suy ra $g^{-1} f_2$ là một toàn cấu trong Module vừa Artin vừa Noether. Vậy nó là một đẳng cấu.

Giả sử bài toán đúng đến $n$. Với $n+1$, nếu $f_{n+1}$ là một đẳng cấu thì xong luôn. Ngược lại thì theo trường hợp $n=2$, 

$$f_1+ f_2+ \cdots +f_n$$

là một đẳng cấu. Vậy theo giả thiết quy nạp, ít nhất một trong những tự đồng cấu đó phải là tự đẳng cấu.

 

---

 

Trong trường hợp $M = M_1 \oplus M_2$, ta có thể lấy

$$\left. f_1 \right|_{M_1} = \text{Id}_{M_1}, \left. f_1 \right|_{M_2} = 0,$$

$$\left. f_2 \right|_{M_1} = 0, \left. f_2 \right|_{M_2} = \text{Id}_{M_2}.$$

Khi đó $g = f_1 + f_2 = \text{Id}$ là đẳng cấu nhưng $f_1, f_2$ đều không phải đẳng cấu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 24-08-2017 - 07:58

[bangbang1412]

Đầu tiên ta công nhận kết quả rằng nếu $M$ vừa Artin vừa Noether và $f$ là một tự đồng cấu của $M$ thì tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để

$$M = f^{n}(M) \oplus f^{-n}(0).$$

Vì $M$ là không phân tích được, nên với mọi $f$ là tự đồng cấu của $M$ ta có hoặc $f^{n}(M) = M$ hoặc $f^n(0)= 0$. Trường hợp đầu tiên, $f$ là toàn cấu từ đó là một đẳng cấu, trường hợp thứ hai $f$ là luỹ linh.

 

Vậy ta đã biết các $f_i$ đều là đẳng cấu hoặc luỹ linh. Quy nạp bài toán theo $n$. Với $n=2$ thì 

$$g = f_1 + f_2.$$

Suy ra

$$\text{Id} = g^{-1} f_1 + g^{-1}f_2.$$

Nếu $ g^{-1}f_1$ là một đẳng cấu thì $f_1$ cùng là đẳng cấu, xong luôn rồi. Ngược lại nó là luỹ linh thì tồn tại $n$ để 

$$( g^{-1} f_1)^n = 0.$$

Khi đó

$$\text{Id} = \text{Id} -  (g^{-1} f_1)^n = (\text{Id} -  g^{-1} f_1)( \text{Id}  + (g^{-1} f_1) + \cdots + (g^{-1} f_1)^{n-1}) $$

$$=g^{-1} f_2 ( \text{Id}  + (g^{-1} f_1) + \cdots + (g^{-1} f_1)^{n-1}) $$

Suy ra $g^{-1} f_2$ là một toàn cấu trong Module vừa Artin vừa Noether. Vậy nó là một đẳng cấu.

Giả sử bài toán đúng đến $n$. Với $n+1$, nếu $f_{n+1}$ là một đẳng cấu thì xong luôn. Ngược lại thì theo trường hợp $n=2$, 

$$f_1+ f_2+ \cdots +f_n$$

là một đẳng cấu. Vậy theo giả thiết quy nạp, ít nhất một trong những tự đồng cấu đó phải là tự đẳng cấu.

====

(Đọc hint muôn năm)

   anh Đạt mới giở ra đọc lại huh ? Làm thì làm cho chót phần đuôi câu hỏi chứ , dù nó cũng kcg .