Chủ đề này có 1 trả lời

[Superkai]

Bài 1: Cho các số thực $x,y$. Chứng minh rằng:

$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\geq 2(x^2y^2-xy+1)$

Bài 2: Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$P=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

[Hoang Dinh Nhat]

Bài 1: Cho các số thực $x,y$. Chứng minh rằng:

$3(x^2-x+1)(y^2-y+1)\geq 2(x^2y^2-xy+1)$

Bài 2: Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$P=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

Bài 1:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(-3y+3+y^2)x^2+(-3+5y-3y^2)x+1+3y^2-3y\geq 0$

Ta có: $-3y+3+y^2=\left ( y-\frac{3}{2} \right )^2+\frac{3}{4}>0$

Xét biệt thức $delta$ theo ẩn $x$ ta có: $\Delta _{x}=(-3+5y-3y^2)^2-4(-3y+3+y^2)(1+3y^2-3y)=-3(y^2-3y+1)^2\leq 0$

Vì vậy, theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có điều phải chứng minh

Dấu '=' xảy ra khi: $x=y=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$

Bài 2: 

Ta có đánh giá: $\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}\leq \frac{x}{z+y+x+1}$

Thật vậy, đánh giá trên tương đương với: $x(z+y+x+1)\leq x^2+yz+x+1\Leftrightarrow xz+xy\leq yz+1\Leftrightarrow 2xz+2xy\leq 2yz+2$

$\Leftrightarrow 2xz+2xy-2yz-(x^2+y^2+z^2)\leq 0\Leftrightarrow -(x-y-z)^2\leq 0$ (đúng)

Vậy ta có: $P\leq \frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=1-\frac{xyz+2-(x+y+z)}{(xyz+3)(x+y+z+1)}$ $(1)$

Mặt khác sử dụng $AM-GM$, ta có: $2=x^2+y^2+z^2\geq y^2+z^2\geq 2yz\Rightarrow yz\leq 1$

Sử dụng tiếp bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$, ta có: 

$(x+y+z-xyz)^2=(x(1-yz)+y+z)^2\leq (x^2+(y+z)^2)((1-yz)^2+1)=(2+2yz)(y^2z^2-2yz+2)=4+2y^2z^2(yz-1)\leq 4$ (Vì $yz\leq 1$)

$\Rightarrow 2\geq x+y+z-xyz\Leftrightarrow xyz+2\geq x+y+z$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $P\leq 1$

Dấu '=' xảy ra khi: $x=0;y=z=1$

Vậy $Max$ của $P$ là $1$