Có tồn tại vô hạn số tự nhiên q thỏa mãn $\left[\alpha q^2 \right]\vdots q$ hay không? Với $\alpha$ là một số vô tỉ cho trước
Có tồn tại vô hạn số tự nhiên q thỏa mãn $\left[\alpha q^2 \right]\vdots q$ hay không
Bắt đầu bởi Minhnksc, 26-08-2017 - 10:51
#1
Đã gửi 26-08-2017 - 10:51
#2
Đã gửi 01-09-2017 - 17:25
Câu trả lời là có. Viết $\alpha =\left [ x_0;x_1,x_2... \right ]$ (liên phân số vô hạn). Xét dãy $p_{-2}=0,p_{-1}=1,p_n=x_np_{n-1}+p_{n-2},q_{-2}=1,q_{-1}=0,q_n=x_nq_{n-1}+q_{n-2}$. Khi đó $0<\alpha -\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{1}{q_{2k}^2}\Rightarrow p_{2k}q_{2k}<\alpha q_{2k}^2<p_{2k}q_{2k}+1\Rightarrow \left \lfloor \alpha q_{2k}^2 \right \rfloor=p_{2k}q_{2k}$ (chứng minh chi tiết epsilon 4 p25-36)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 01-09-2017 - 17:26
- nhungvienkimcuong và Minhnksc thích
For the love of Canidae
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh