Đến nội dung

Hình ảnh

Có tồn tại vô hạn số tự nhiên q thỏa mãn $\left[\alpha q^2 \right]\vdots q$ hay không

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

Có tồn tại vô hạn số tự nhiên q thỏa mãn $\left[\alpha q^2 \right]\vdots q$ hay không? Với $\alpha$ là một số vô tỉ cho trước


Sống khỏe và sống tốt :D


#2
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Câu trả lời là có. Viết $\alpha =\left [ x_0;x_1,x_2... \right ]$ (liên phân số vô hạn). Xét dãy $p_{-2}=0,p_{-1}=1,p_n=x_np_{n-1}+p_{n-2},q_{-2}=1,q_{-1}=0,q_n=x_nq_{n-1}+q_{n-2}$. Khi đó $0<\alpha -\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{1}{q_{2k}^2}\Rightarrow p_{2k}q_{2k}<\alpha q_{2k}^2<p_{2k}q_{2k}+1\Rightarrow \left \lfloor \alpha q_{2k}^2 \right \rfloor=p_{2k}q_{2k}$ (chứng minh chi tiết epsilon 4 p25-36)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 01-09-2017 - 17:26





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh