Local Cohomology
#1
Đã gửi 01-07-2006 - 17:44
Trong Weibel cuốn An Introduction to homological algebra có trình bầy về local cohomology (từ trang 115 đến 119)
Cách xây dựng đối đồng điều địa phương thứ nhất thì có thể hiểu như là 1 hàm tử dẫn xuất phải (right derived functor) của torsion functor (hàm tử xoắn) with respect to 1 ideal nào đó (trong Brodmann thì xét vành Noetherian giao hoán với non-trivial ideal) còn trong Weibel thì xét vành giao hoán với ideal hữu hạn sinh.
1 cách xây dựng khác được đưa ra bởi Serre [EGA, III.1.1] thông qua Koszul complex, cái này mình chưa hiểu cụ thể lắm. Mình sẽ post lần lượt các câu hỏi lên đây mong mọi người giúp đỡ.
Thứ nhất: tác giả Weibel có nhắc tới tower , mình không hiểu thuật ngữ tower (tháp) muốn ám chỉ điều gì.
Thuật ngữ này cũng xuất hiện tương tự trong mục 3.5.6 về điều kiện Mittag-Leffler (điều kiện này nghe tên có vẻ như xuất hiện trong giải tích phức quá, nhưng không biết có liên quan gì tới nhau không? ):
"1 tháp (tower) của các nhóm abel......" không hiểu tháp các nhóm abel nghĩa là gì?
Ps: Xin lỗi định nghĩa tháp các nhóm abel có ngay ở trang trước mở đầu mục Derived Functor of the inverse Limit.
Tuy nhiên làm sao để chỉ ra được là 1 tháp nhỉ? Lấy đâu ra inclusion?
#2
Đã gửi 03-07-2006 - 10:47
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>
#3
Đã gửi 07-07-2006 - 20:20
----------------
Tự dưng hôm nay mình nổi hứng thích ngồi triết lý (các bạn thông cảm, mới học kiến thức cơ bản xong cho nên khoái). Học cái local cohomology này xong (nhất là được đọc sách của Grothendieck và cuốn local algebra của Serre) mình thấy Hình học đại số và đại số giao hoán gần nhau thật (trước đây chỉ nghe mọi người nói, chứ cụ thể thế nào cũng chả rõ ngoại trừ mấy thứ cơ bản như vành địa phương, noether, chính quy...) . Không thể tưởng tượng nổi các tính chất Cohen-Macaulay lại phản ánh các tính chất hình học nhiều đến vậy. Trước đến nay mình chỉ toàn học hình học là chủ yếu, nay mới thấy hết ý nghĩa của đại số. Mình bắt đầu thực sự khoái cái Depth rồi đấy. Mặc dù thích làm việc với phân thớ, bó, đa tạp, lược đồ của hình học hơn, nhưng công nhận ngôn ngữ vành và module của đại số khá là elegant. Trước đây mình chả hề biết là đối đồng điều với hệ số bó lại có thể được formulate 1 cách đẹp đẽ bằng ngôn ngữ của ideal. Có lẽ vietnam có rất nhiều các cao thủ lừng lẫy trong lãnh vực đại số giao hoán này.
Đọc các tài liệu về đại số giao hoán thấy các tên tuổi như NVTrung, LT Hoa... được trích dẫn khá nhiều.
#4
Đã gửi 12-07-2006 - 02:24
Nói như ông David Eisenbud thì Đại số giao hoán và Hình học đại số là 2 ngôn ngữ để nói tới cùng một thứ. Xu hướng hiện tại là sử dụng cả 2 loại ngôn ngữ cùng một lúc. Trong ngôn ngữ đại số người ta có thể giải quyết vấn đề triệt để hơn (chẳng hạn phát biểu một vấn đề cho mọi vành, mọi trường) và kỹ thuật hơn (nhiều khi kỹ thuật quá đọc hoa cả mắt), còn với ngôn ngữ hình học đại số ta có cái nhìn trực quan hơn (nhiều bài toán khó của đại số giao hoán khi "dịch" qua hình học đại số thì lại rất đẹp và đơn giản).Tự dưng hôm nay mình nổi hứng thích ngồi triết lý (các bạn thông cảm, mới học kiến thức cơ bản xong cho nên khoái). Học cái local cohomology này xong (nhất là được đọc sách của Grothendieck và cuốn local algebra của Serre) mình thấy Hình học đại số và đại số giao hoán gần nhau thật (trước đây chỉ nghe mọi người nói, chứ cụ thể thế nào cũng chả rõ ngoại trừ mấy thứ cơ bản như vành địa phương, noether, chính quy...) . Không thể tưởng tượng nổi các tính chất Cohen-Macaulay lại phản ánh các tính chất hình học nhiều đến vậy. Trước đến nay mình chỉ toàn học hình học là chủ yếu, nay mới thấy hết ý nghĩa của đại số. Mình bắt đầu thực sự khoái cái Depth rồi đấy. Mặc dù thích làm việc với phân thớ, bó, đa tạp, lược đồ của hình học hơn, nhưng công nhận ngôn ngữ vành và module của đại số khá là elegant. Trước đây mình chả hề biết là đối đồng điều với hệ số bó lại có thể được formulate 1 cách đẹp đẽ bằng ngôn ngữ của ideal. Có lẽ vietnam có rất nhiều các cao thủ lừng lẫy trong lãnh vực đại số giao hoán này.
Đọc các tài liệu về đại số giao hoán thấy các tên tuổi như NVTrung, LT Hoa... được trích dẫn khá nhiều.
#5
Đã gửi 12-07-2006 - 04:48
Anh có biết thêm thông tin gì về giả thuyết này không (ví dụ như bài báo nào mang tính đột phá, hướng nào đáng chú ý gợi mở...)
#6
Đã gửi 12-07-2006 - 23:07
Giả thuyết được phát biểu chính xác như sau: Cho S = k[x_1, ..., x_n] là một vành đa thức trên k. Với mỗi S-module M, chỉ số Betti của M được định nghĩa bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\mathbb{Z}}^n-phân bậc. QC có thể xem ở các bài báo sau:
1) H. Charalambous, Journal of Algebra 137 (1991), 491-500.
2) E.G. Evans and P. Griffith, Pacific Journal of Mathematics 133 (1988), 267-276.
3) L. Santoni, Pacific Journal of Mathematics 141 (1990), 105-124.
Có một vài tác giả đã nghiên cứu bài toán với các module M hữu hạn sinh (bỏ điều kiện chiều dài hữu hạn). QC có thể xem thêm ở
1) J. Herzog and M. Kuhl, Communications in Algebra 12 (1984), 1627-1646.
2) W. Bruns, Journal of Algebra 39 (1976), 429-439.
3) H. Charalambous - bài báo trên.
#7
Đã gửi 13-07-2006 - 16:25
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh