Đến nội dung

Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển HSG 9 vòng 1 trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

Đề chọn đội tuyển HSG 9 vòng 1 trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam

Câu 1:

1. tìm tất cả các cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn 

$$\left\{\begin{matrix} y^2=(x+7)(x-2) & & \\ 3x^2-4xy+y^2=4(1-x) & & \end{matrix}\right.$$

2. giải phương trình $$5(x+\sqrt{6+x-x^2})=11\sqrt{2+x}-2\sqrt{3-x}$$

Câu 2: tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn: 

$$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$$

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn với trực tâm $H$. Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $C$ cắt $BH$ ở $D$ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $CH$ ở $E$. gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $BE,CD$
1. Chứng minh $H,M,N$ thẳng hàng

2.  đường thẳng $MN$ cắt trung tuyến $AL$ ($L\in BC$ ) của tam giác $ABC$ tại $P$ . chứng minh rằng $BC^2=4LA.LP$

Câu 4: trong bảng hình vuông gồm $10\times 10$ ô vuông ($10$ hàng, $10$ cột), người ta viết vào các ô vuông các số tự nhiên từ $1$ đến $100$ theo cách như sau: ở hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết các số từ $1$ đến $10$ ; ở hàng thứ hai từ trái sang phải viết các số từ $11$ đến $20$ ; cứ như vậy cho đến hết hàng thứ $10$. sau đó cắt bảng hình vuông thành những hình chữ nhật nhỏ kích thước $1\times 2$ hoặc $2\times 1$ . tính tích số của 2 số trong mỗi hình chữ nhật nhỏ rồi cộng $50$ tích lại. cần phải cắt hình vuông như thế nào để tổng tìm được nhỏ nhất? Hãy tính giá trị nhỏ nhất đó

Nguồn: A-star education



#2
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Hệ phương trình tương đương:$\left\{\begin{matrix}y^{2}=(x+7)(x-2) \\ 4x^{2}-4xy+y^{2}=x^{2}-4x+4 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}y^{2}=(x+7)(x-2) \\ (2x-y)^{2}=(x-2)^{2} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix}y^{2}=(x+7)(x-2) \\ \begin{bmatrix}2x-y=x-2 \\ 2x-y=2-x \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=(x+7)(x-2) \\ 4x^{2}-4xy+y^{2}=x^{2}-4x+4 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}y^{2}=(x+7)(x-2) \\ (2x-y)^{2}=(x-2)^{2} \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix}y^{2}=(x+7)(x-2) \\ \begin{bmatrix}2x-y=x-2 \\ 2x-y=2-x \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$

Đến đây có lẽ dùng phép thế là được.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 01-09-2017 - 17:50

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#3
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

ai làm được câu phương trình chưa ạ?



#4
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Câu 3:

a) Sử dụng bổ đề hình thang:

Xét hình thang BEDC có EC giao BD tại H. M là trung điểm BE, N là trung điểm CD nên theo bổ đề hình thang suy ra được: M,H,N thẳng hàng.

b) Đang suy  nghĩ.


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#5
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Câu 2 nghiệm nguyên:

Phương trình viết lại:$3^m(3^m-1)=n(n+2)(n^2+1)$

Nhận thấy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho $3$ nên từ phương trình suy ra duy nhất một trong hai thằng $n$ hay là $n+2$ chia hết 3.

Nếu $n \vdots 3$ thì suy ra $n \vdots 3^m$(bởi phần còn lại ko chia hết $3$).$ \Rightarrow 3^m-1 \vdots (n+2)(n^2+1)$

Do đó ta có:$n \geq 3^m \geq (n+2)(n^2+1)+1$.Vô lý

Nếu $n+2 \vdots 3 $ suy ra $n+2 \vdots 3^m$ và $3^m-1 \vdots n(n^2+1)$

Lý luận tương tự ta có bất đẳng thức $n+2 \geq n(n^2+1)+1 \Rightarrow n=1$

Từ đó tìm được $m=1$

 


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#6
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

ai làm được câu phương trình chưa ạ?

PT $\Leftrightarrow 5x+5\sqrt{(x+2)(3-x)}=11\sqrt{x+2}-2\sqrt{3-x}$

Đặt $\sqrt{x+2}=a\geq 0,\sqrt{3-x}=b\geq 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=5& & \\ 5x=\frac{5(a^2-b^2+1)}{2}& & \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=5 & & \\ \frac{5(a^2-b^2+1)}{2}+5ab=11a-2b & & \end{matrix}\right.$

giải hệ là ổn :D



#7
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Làm nốt câu hình mà bạn @Duy Thai2002 đang dở dang.

Dễ thấy $\triangle ABC$ và $\triangle HCD$ đồng dạng và có các đường trung tuyến $AL$;$HN$ tương ứng nên:

$\triangle ABL$ với $\triangle HCN$ đồng dạng ;$\triangle ACL$ với $\triangle HDN$ đồng dạng;.Suy ra $\widehat{PLB}=\widehat{PNC}$ nên tứ giác $PNCL$ nội tiếp suy ra $\widehat {LCP} =\widehat {LNP}=\widehat {NHD}=\widehat {LAC}$

suy ra $\triangle LCP$ với $\triangle LAC$ đồng dạng.Vì thế $LC^2=LP.LA$.Biến đổi thu đpcm


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#8
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Câu 5:

Gỉa sử cắt hình vuông $10 \times 10$ thành $50$ hình vuông $1\times 2$ và đặt $(a_k;b_k)$ là số trên mỗi hình chữ nhật $1\times 2$ thứ $k$.Theo đề bài thì ta có:$|a_k -b_k|=1$ hay $|a_k -b_k|=10$.

Chú ý rằng $a_k.b_k=\frac{a_k^2+b_k^2}{2}-\frac{(a_k-b_k)^2}{2}$.

Nên tổng của các tích là: $\frac{1}{2}(1^2+2^2+...+100^2)-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{50}(a_k-b_k)^2$

Để tổng đó nhỏ nhất thì$ |a_k-b_k|=10 $$\forall k=\overline{1;50}$.Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là :$169175-0.5.10^2.50=166675$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 01-09-2017 - 21:16

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#9
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

PT $\Leftrightarrow 5x+5\sqrt{(x+2)(3-x)}=11\sqrt{x+2}-2\sqrt{3-x}$

Đặt $\sqrt{x+2}=a\geq 0,\sqrt{3-x}=b\geq 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=5& & \\ 5x=\frac{5(a^2-b^2+1)}{2}& & \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=5 & & \\ \frac{5(a^2-b^2+1)}{2}+5ab=11a-2b & & \end{matrix}\right.$

giải hệ là ổn :D

ừ, vấn đề giải hệ này kiểu gì bạn?



#10
didifulls

didifulls

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 221 Bài viết

ừ, vấn đề giải hệ này kiểu gì bạn?

https://olm.vn/hoi-d...tml?pos=4101787

tham khảo :v


''.''





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh