Đề chọn đội tuyển HSG 9 vòng 1 trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam
Câu 1:
1. tìm tất cả các cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn
$$\left\{\begin{matrix} y^2=(x+7)(x-2) & & \\ 3x^2-4xy+y^2=4(1-x) & & \end{matrix}\right.$$
2. giải phương trình $$5(x+\sqrt{6+x-x^2})=11\sqrt{2+x}-2\sqrt{3-x}$$
Câu 2: tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn:
$$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$$
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn với trực tâm $H$. Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $C$ cắt $BH$ ở $D$ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $CH$ ở $E$. gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $BE,CD$
1. Chứng minh $H,M,N$ thẳng hàng
2. đường thẳng $MN$ cắt trung tuyến $AL$ ($L\in BC$ ) của tam giác $ABC$ tại $P$ . chứng minh rằng $BC^2=4LA.LP$
Câu 4: trong bảng hình vuông gồm $10\times 10$ ô vuông ($10$ hàng, $10$ cột), người ta viết vào các ô vuông các số tự nhiên từ $1$ đến $100$ theo cách như sau: ở hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết các số từ $1$ đến $10$ ; ở hàng thứ hai từ trái sang phải viết các số từ $11$ đến $20$ ; cứ như vậy cho đến hết hàng thứ $10$. sau đó cắt bảng hình vuông thành những hình chữ nhật nhỏ kích thước $1\times 2$ hoặc $2\times 1$ . tính tích số của 2 số trong mỗi hình chữ nhật nhỏ rồi cộng $50$ tích lại. cần phải cắt hình vuông như thế nào để tổng tìm được nhỏ nhất? Hãy tính giá trị nhỏ nhất đó
Nguồn: A-star education