Đến nội dung

Hình ảnh

$f:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ thỏa $f(\frac{f^2(n)}{n})=n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Tìm $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ thỏa mãn:

$f(\frac{f^2(n)}{n})=n$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Tìm $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ thỏa mãn:

$f(\frac{f^2(n)}{n})=n$

Ta có $n|f^2(n)$ 

Từ tính chất này cho $n = \dfrac{f^2(n)}{n}$ thì $f^2(n)|n^3$

Đặt $n= p_{1}^{a_1} \cdot p_{2}^{a_2} ....p_{n}^{a_n}$

Trong đó $p_1,p_2,...,p_n$ nguyên tố còn $a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb{N*}$

Do $f^2(n)|n^3$ nên $f(n)$ phải có dạng $p_{1}^{b_1} \cdot p_{2}^{b_2}...p_{n}^{b_n}$

Trong đó $b_1,b_2,...b_n \in \mathbb{N}$ và $2b_{i} \leq 3a_{i}$

Do đó $b_{i} \leq a_{i}$ hay $f(n)|n$

Từ đẳng thức này cho $n=\dfrac{f^2(n)}{n}$ thì $n^2|f^2(n)$

Do đó $f(n)=n,\forall n$.

Thử lại TM. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 28-09-2017 - 15:39


#3
Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết

Tìm $f:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ thỏa mãn:

$f(\frac{f^2(n)}{n})=n$

Tương tự ta có bài toán:

Tìm $f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn: $f(\frac{f(n)}{n})=n^2$ 

Bài này là đề thi của Năng Khiếu, em không nhớ rõ năm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 28-09-2017 - 16:45





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh