Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $DA_0$, $EB_0$, $FC_0$ đồng quy

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Caspper

Caspper

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ và $(O)$, $(I)$ tương ứng là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Kẻ các đường cao $AH$, $BK$, $CL$. Gọi $A_0$, $B_0$, $C_0$ tương ứng là trung điểm của $AH$, $BK$, $CL$. Chứng minh rằng $DA_0$, $EB_0$, $FC_0$ đồng quy. 



#2
NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

bổ đề: Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC$ tại $D$, tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $J$ và trung điểm đường cao từ $A$ là $X$ thì $J,D,X$ thẳng

(điều này khá quen thuộc, mình sẽ không trình bày lời giải cho bổ đề này)

quay lại bài toán

gọi tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ là $X,Y,Z$. thì $X,D,A_0$ thẳng. Gọi giao của $XD$ và $YZ$ là $P$ thì theo tính đồng dạng ta có $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ vậy theo ceva ta có $XD,YE,ZF$ đồng qui dpcm



#3
Caspper

Caspper

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

bổ đề: Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC$ tại $D$, tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $J$ và trung điểm đường cao từ $A$ là $X$ thì $J,D,X$ thẳng
(điều này khá quen thuộc, mình sẽ không trình bày lời giải cho bổ đề này)
quay lại bài toán
gọi tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ là $X,Y,Z$. thì $X,D,A_0$ thẳng. Gọi giao của $XD$ và $YZ$ là $P$ thì theo tính đồng dạng ta có $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ vậy theo ceva ta có $XD,YE,ZF$ đồng qui dpcm

Mình không hiểu lắm cái chỗ theo tính đồng dạng ta có $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$?? À và phải chứng minh điểm đồng quy đó nằm trên $OI$ thì làm thế nào nhỉ

#4
NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

bạn có thể nhìn theo hướng sau. Xét tam giác $XYZ$ thì rõ ràng $XA,YB,ZC$ là các đường cao vậy $\triangle XBC$ đồng dạng $\triangle XYZ$ vậy ta có tỉ số $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ mà theo định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic thì ta có điểm thấy xạ của $XYZ$ và $ABC$ thuộc đường thẳng Euler của $\triangle DEF$ vậy điểm đồng qui thuộc $OI$

nếu bạn chưa biết về định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic bạn có thể tham khảo link sau

https://artofproblem...ctive_triangles


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHN: 04-09-2017 - 17:21


#5
Caspper

Caspper

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

bạn có thể nhìn theo hướng sau. Xét tam giác $XYZ$ thì rõ ràng $XA,YB,ZC$ là các đường cao vậy $\triangle XBC$ đồng dạng $\triangle XYZ$ vậy ta có tỉ số $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ mà theo định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic thì ta có điểm thấy xạ của $XYZ$ và $ABC$ thuộc đường thẳng Euler của $\triangle DEF$ vậy điểm đồng qui thuộc $OI$

nếu bạn chưa biết về định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic bạn có thể tham khảo link sau

https://artofproblem...ctive_triangles

mình đã đọc về định lý Sodat ở trên link và mình cux đã hiểu nhưng mình cux chưa thấy nó liên quan lắm đến vấn đề điểm đồng quy nằm trên $OI$?? Và mình cux chưa hiểu lắm về "xạ của tam giác $XYZ$ và $ABC$ thuộc đường Euler của $\triangle DEF$? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Caspper: 04-09-2017 - 17:37


#6
NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

bạn có $DE//YZ$ vậy đường thẳng qua $D$ vuông với $YZ$ đi qua trực tâm của $\triangle DEF$ tương tự vậy ta có trực tâm của $\triangle DEF$ là tâm orthologic thứ nhất, mà ta lại có dường thẳng qua $X$ vuông $DE$ đi qua $I$ vậy $I$ chính là tâm orthologic thừ 2 mà theo chứng minh đầu tiên thì $XD,YE,ZF$ dồng qui vậy theo định lí sodat thì điểm dồng qui thuộc đường thẳng qua $I$ và trực tâm của $\triangle DEF$ vậy điểm dồng qui thuộc đường thẳng euler của $\triangle DEF$



#7
quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

XD cắt (OI) tại T. Khi đó chỉ cần tính tỷ lệ TI/TO the r, R. Khi đó kết luận được T không phụ thuộc vào X, Y, Z là 3 đường đồng quy thôi.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh