Chủ đề này có 3 trả lời

[sanghamhoc]

Giải hệ phương trinh:

$\left\{\begin{matrix} 1+\sqrt{1-y^{2}}=y(1+2\sqrt{1-x^{2}})\\ \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} \end{matrix}\right.$

 

[MoMo123]

Giải hệ phương trinh:

$\left\{\begin{matrix} 1+\sqrt{1-y^{2}}=y(1+2\sqrt{1-x^{2}})\\ \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} \end{matrix}\right.$

Mình có cách này không biết có được không

Ta có : VT>0 -> VP>0 $\rightarrow y> 0$

Từ điều kiện của 2 căn thức trong PT 1 ta có $\left\{\begin{matrix}-1\leq x\leq 1 & & \\ 0< y\leq1 & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow xy\leq 1$

 $PT(2)\Leftrightarrow$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{2}{\sqrt{(1+x)(1+y)}}=\frac{4}{1+\sqrt{xy}}$

Với mọi $xy\leq 1$ , 

Ta có BĐT phụ sau $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\leq 0$(*)

$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\leq 0$ (đúng do $xy\leq 1$ )(**)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có $\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq 1+\sqrt{xy}$

$\rightarrow PT(2) VT^{2}\leq VP^{2}\rightarrow VT\leq VP$ dấu =xảy ra $\rightarrow$  x=y=1 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-09-2017 - 21:37

[sanghamhoc]

Mình có cách này không biết có được không

Ta có : VT>0 -> VP>0 $\rightarrow y> 0$

Từ điều kiện của 2 căn thức trong PT 1 ta có $\left\{\begin{matrix}-1\leq x\leq 1 & & \\ 0< y\leq1 & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow xy\leq 1$

 $PT(2)\Leftrightarrow$

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{2}{\sqrt{(1+x)(1+y)}}=\frac{4}{1+\sqrt{xy}}$

Với mọi $xy\leq 1$ , 

Ta có BĐT phụ sau $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\leq 0$ (đúng do $xy\leq 1$ )

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có $\sqrt{(1+x)(1+y)}\geq 1+\sqrt{xy}$

$\rightarrow PT(2) VT^{2}\leq VP^{2}\rightarrow VT\leq VP$ dấu =xảy ra $\rightarrow$  x=y=1 

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ Chị ơi cái này cm sao

[MoMo123]

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ Chị ơi cái này cm sao

Cái này là biến đổi tương đương nha bạn , mình đã chứng minh ở trên rồi mà , chỗ (*)đến (**) ấy, đây cũng là một dạng của nó nhưng lại là $xy\geq1$ ,hai cái này ngược nhau nhưng cùng một cách CM nha bạn

P/s : giới tính Nam

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-09-2017 - 21:39