Chủ đề này có 1 trả lời

[Minhnksc]

Cho hai đa thức $P;Q \in \mathbb{R}\left[x\right]$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng không có quá 3 số thực $\lambda$ thỏa mãn $P+\lambda Q$ là bình phương của một đa thức

[redfox]

Thêm điều kiện $P,Q$ khác hằng nữa.

Chữ thường là số thực, chữ in hoa là đa thức, $P^{(i)}$ là đạo hàm cấp $i$, $(A,B)$ là ước đa thức monic có bậc lớn nhất của $A,B$

Bổ đề: Nếu $ab\neq cd\Rightarrow max(deg(aP+cQ),deg(bP+dQ))= max(P,Q)$. Đặt $n= max(P,Q)$ ta có vế trái rõ ràng không lớn hơn $n$. Xét hệ số của $x^n$ trong hai đa thức $aP+cQ,bP+dQ$ sẽ có một đa thức có hệ số khác $0$ dễ có vế trái bằng $n$.

Giả sử tồn tại ba số thực phân biệt $\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3,P+\lambda _iQ= R_i^2$. Theo bổ đề trên, tồn tại $R_i^2$ có bậc bằng $max(P,Q)$ giả sử là $R_1^2$. Ta đặt $\lambda = \frac{\lambda _1-\lambda _2}{\lambda _1-\lambda _3},A= R_1-R_2,B= R_1+R_2,C= R_1-R_3,D= R_1+R_3$, khi đó $A+B=C+D=2R_1,AB= \lambda CD,\lambda \neq 1,(A,B)=(C,D)=1$ và $AB$ có bậc bằng $max(P,Q)$. Đặt $P_{AC}= (A,C),P_{AD}= (A,D),P_{BC}= (B,C),P_{BD}= (B,D)$, ta có các đa thức trên nguyên tố cùng nhau. Giả sử $x_0$ là nghiệm bội $n$ của $A$ thì nó cũng là nghiệm bội $n$ của duy nhất một trong hai đa thức $P_{AC},P_{AD}$ hay cũng là nghiệm bội $n$ của đa thức $P_{AC}P_{AD}$,tương tự ta cũng dễ có điều ngược lại, vậy $A= aP_{AC}P_{AD}$ với $a$ là hằng số nào đó. Tương tự $B= bP_{BD}P_{BC},C= cP_{AC}P_{BC},D= dP_{AD}P_{BD}$. Ta có $A-C=D-B$. Giả sử $x_0$ là nghiệm bội $n$ của $P_{AC}P_{BD}$ thì nó cũng là nghiệm bội $n$ của một trong hai đa thức $P_{AC},P_{BD}$ nên là nghiệm bội ít nhất $n$ của đa thức $A-C$. Giả sử $x_0$ là nghiệm bội $n$ của $A-C$ thì nó là nghiệm của nhiều nhất một trong hai đa thức $P_{AC},P_{BD}$, giả sử $P_{BD}$ không có nghiệm $x_0$ và  $x_0$ nghiệm bội $m$ (có thẻ bằng $0$) của $P_{AC}$. Giả sử $m<n$. Ta đạo hàm $A-C=D-B$ từ $0$ đến $m+1$ lần, thay $x=x_0$ ta có $A^{(i)}=C^{(i)}=0,\forall 0\leq i\leq m,A^{(m+1)}=C^{(m+1)}\neq 0,B=D\neq 0$, đạo hàm $AB= \lambda CD$ $m+1$ lần, thay $x=x_0$ ta có $A^{(m+1)}B= \lambda C^{(m+1)} D$, dễ có vô lý, vậy $m\geq n$, từ đây ta có: $A-C=B-D=\alpha P_{AC}P_{BD}\Rightarrow aP_{AD}-bP_{BC}= \alpha P_{BD},dP_{AD}-bP_{BC}= \alpha P_{AC}$. Thay $P_{AC},P_{BD}$ ta có $AB= \frac{ab}{\alpha ^2}P_{AD}P_{CD}(aP_{AD}-cP_{BC})(dP_{AD}-bP_{BC}),2R_1=\frac{1}{\alpha }(adP_{AD}-bc P_{BC})$. Áp dụng bổ đề ta có $max(degP_{AD},degP_{BC})\geq 2degR_1\geq degQ= degAB\geq degP_{AD}+degP_{BC}+max (degP_{AD},degP_{BC})\Rightarrow degP_{AD}=degP_{BC}=0$, từ đây ta có $R_1,Q$ là đa thức hằng nên $P$ cũng là đa thức hằng (vô lý). Vậy tồn tại nhiều nhất hai số thỏa mãn điều kiện đề bài,

(Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 23-09-2017 - 15:41