Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần $2$ tháng $9/2017$: Chứng minh $\frac{AJ}{AL}=\frac{MN}{BC}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1, tháng 9, 2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Ngô Quang Dương. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ và $M,N$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $M$ nằm giữa $N,B$.Lấy $P,Q$ trên $AM,AN$ để $BP,CQ$ cùng vuông góc với $BC$. $K,J$ là tâm ngoại tiếp $(APQ),(AMN)$. $L$ là hình chiếu của $K$ lên $AJ$. Chứng minh $\frac{AJ}{AL}=\frac{MN}{BC}$

Hình vẽ

eM2iXER.png

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ và $l$ là 1 đường thẳng bất kì. $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C$ lên $l$.$X,Y,Z$ lần lượt chia $AD,BE,CF$ theo cùng $1$ tỉ số $k$. Các đường lần lượt qua $X,Y,Z$ và vuông góc $BC,CA,AB$ đồng quy tại $K$. Chứng minh $(KAX),(KBY),(KCZ)$ đồng trục và trục đẳng phương của chúng đi qua điểm cố định khi $k$ thay đổi.

Hình vẽ

z6aGTL9.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 10-09-2017 - 22:36


#2
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Lời giải bài 1 :

Gọi $PQ$ cắt $BC$ tại $H$ , ta có $\frac{AJ}{MN}=\frac{1}{2.sinMAN}=\frac{AK}{PQ}$

Mặt khác $\widehat{KAL}=\widehat{LAM}-\widehat{KAM}=\widehat{AQP}-\widehat{ANM}=\widehat{CHQ}$ nên $\frac{AK}{AL}=\frac{HQ}{HC}=\frac{PQ}{BC}$

Vậy $\frac{AJ}{MN}=\frac{AK}{PQ}=\frac{AL}{BC}$

123.png


~O)  ~O)  ~O)


#3
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Lời giải bài 2 :

(Chứng minh Đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc với $CB,CA,AB$ đồng quy tại $K$ : $l$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$  . Đường thẳng qua $M,N$ vuông góc với $AC,AB$ cắt $BY,CZ$ tại $Y',Z'$ . $X'$ là trực tâm tam giác $AMN$ . Đường thẳng qua $X',Y',Z'$ vuông góc với $CB,CA,AB$ đồng quy tại $X'$ . Hơn nữa $X',Y',Z'$ chia $AD,BE,CF$ cùng 1 tỷ số nên Đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc với $CB,CA,AB$ đồng quy tại $K$ nằm trên đường nối trực tâm 2 tam giác $ABC,AMN$)

 

 

Giả sử $(CZK)$ cắt $(ABC)$ tại $L$ .Ta có $(LB,LK)=(LB,LC)+(LC,LK)=(AB,AC)+(ZC,ZK)=(AM,AN)+(MN,MA)=(MN,AN)=(YB,YK) (mod \pi)$ nên $(LBYK)$ nội tiếp . Tương tự thì $(LAXK)$ nt , Vậy 3 đường tròn đó đồng quy tại $K,L$ . Mặt khác $KL$ cắt $(O)$ tại $H$ thì $(OH,OB)=2(LK,LB)=2(AC,l) (mod \pi)$ cố định nên $H$ cố định 

1234.png


~O)  ~O)  ~O)


#4
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Bài 1 là mở rộng đề thi IGO 2017 khi MN=BC/2 ta có bài IGO 2017 :)!



#5
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Lời giải bài 1 của em ạ 

Gọi $X$ là giao điểm của $(AMN)$ với $(APQ)$ . $AJ$ cắt $(AMN),(APQ)$ lần lượt tại $H,G$ . $AS$ là đường kính của $(APQ)$ . Khi đó ta có $X,H,S$ thẳng hàng và $\triangle XMN \cap H \sim \triangle XPQ \cap G$ . Ta có biến đổi tỉ số : $\frac{AJ}{AL} = \frac{AH}{AG} = \frac{AH}{AS}.\frac{AS}{AG} = \frac{XH}{XG}.\frac{PQ}{BC} = \frac{MN}{PQ}.\frac{PQ}{BC}$ . Ta có điều cần chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 10-09-2017 - 23:37


#6
cleverboy

cleverboy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Lời giải của bài toán 1.

Hình gửi kèm

  • tuan2-9-2017 giai.png
  • tuan2-9-2017 hinh.png


#7
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Cám ơn Trung, Tuấn và Dũng đã đóng góp các lời giải hay, bài 2 cũng rất thú vị mọi người hãy quan tâm :)!



#8
QuangDuong12011998

QuangDuong12011998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Lời giải của Trung đúng rồi.

Bài 2 mình tìm ra đã rất lâu. Ban đầu mình tìm ra với trường hợp $X\equiv D$, $Y\equiv E$, $Z\equiv F$ rồi tổng quát lên. Chứng minh của mình cũng biến đổi góc thôi.

Bài 2 là một bài rất nhẹ nhàng.

Mình mong đợi nhiều hơn chỉ là một lời giải - không phải vì mình chờ lời giải khác mà là vì cấu hình bài toán còn nhiều thứ để vọc lắm. Bài toán không phải để giải.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuangDuong12011998: 12-09-2017 - 10:54


#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4980 Bài viết

Lời giải bài 2 :

(Chứng minh Đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc với $CB,CA,AB$ đồng quy tại $K$ : $l$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$  . Đường thẳng qua $M,N$ vuông góc với $AC,AB$ cắt $BY,CZ$ tại $Y',Z'$ . $X'$ là trực tâm tam giác $AMN$ . Đường thẳng qua $X',Y',Z'$ vuông góc với $CB,CA,AB$ đồng quy tại $X'$ . Hơn nữa $X',Y',Z'$ chia $AD,BE,CF$ cùng 1 tỷ số nên Đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc với $CB,CA,AB$ đồng quy tại $K$ nằm trên đường nối trực tâm 2 tam giác $ABC,AMN$)

Chứng minh này có sử dụng định lý hay bổ đề nào không?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Lời giải bài 2 của em ạ : 

1) Ta chứng minh đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc $BC,CA,AB$ đồng quy 

Gọi $H$ là trực tâm $\triangle ABC$ , $G$ là cực trực giao của $d$ đối với $\triangle ABC$ . Gọi $K$ là điểm chia $GH$ theo tỉ số $k$ . Khi đó theo định lý thales , $XK,YK,ZK$ vuông góc $BC,CA,AB$ nên đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc $BC,CA,AB$ đồng quy 

2) Ta chứng minh bài toán

Gọi $J$ là giao điểm của $(BYK) , (CZK)$ , khi đó ta có $(JB,JC) = (JB,JK) +(JK,JC) = (YB,YK) +(ZK,ZC) = (EB,BH) + (CH,CF) = (BH,CH) = (AB,AC)$ nên $J$ nằm trên $(O)$ 

Suy ra $(AXK) , (BYK) , (CZK)$ đồng quy tại $J$ nằm trên $(O)$

Gọi $V$ là giao điểm của $KJ$ với $(O)$ khác $J$ . Ta có $\angle VAC = \angle KJC = \angle KZF = \angle HCF$ cố định do $d$ cố định và $\triangle ABC$ cố định , suy ra $V$ cố định 

Untitled.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 12-09-2017 - 20:19


#11
Alkiiro

Alkiiro

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Lời giải bài 1 :

Gọi $PQ$ cắt $BC$ tại $H$ , ta có $\frac{AJ}{MN}=\frac{1}{2.sinMAN}=\frac{AK}{PQ}$

Mặt khác $\widehat{KAL}=\widehat{LAM}-\widehat{KAM}=\widehat{AQP}-\widehat{ANM}=\widehat{CHQ}$ nên $\frac{AK}{AL}=\frac{HQ}{HC}=\frac{PQ}{BC}$

Vậy $\frac{AJ}{MN}=\frac{AK}{PQ}=\frac{AL}{BC}$

attachicon.gif123.png

Anh có thể giải thích cho e đoạn \widehat{LAM}-\widehat{KAM}=\widehat{AQP}-\widehat{ANM} được không? Vì sao hai hiệu này bằng nhau ạ?



#12
ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết

Anh có thể giải thích cho e đoạn \widehat{LAM}-\widehat{KAM}=\widehat{AQP}-\widehat{ANM} được không? Vì sao hai hiệu này bằng nhau ạ?

$ \widehat{LAM}-\widehat{KAM}=(90-\widehat{ANM})-(90-\widehat{AQP})$


~O)  ~O)  ~O)


#13
thetam

thetam

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

chấm [.] hóng theo dõi bài toàn hay này ạ, mò cả sáng chưa ra






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh