ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 DAKLAK
#1
Đã gửi 12-09-2017 - 18:47
#2
Đã gửi 12-09-2017 - 21:36
Bài 1 : $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x+y}{\sqrt{1+xy}} & & \\ \sqrt{(2x-2)(y+5)}+\sqrt{(2y-2)(x+2)}-3(\sqrt{y+5}+\sqrt{x+2})=3 & & \end{matrix}\right.$
ĐKXĐ: xy $\geq$ -1
Nếu y=-5 thì ta suy ra $\left\{\begin{matrix} x+2\geq 0 & & \\ x+2\leq 0& & \end{matrix}\right.\rightarrow x=-2$ .Thế vào hệ đầu thì suy ra vô lí .
Nếu x=-2 thì ta cũng suy ra được điều tương tự .
Vậy ta có ĐKXĐ : x,y >1
Xét phương trình thứ nhất , ta chứng minh LHS $\geq$ RHS .
Thật vậy $LHS =\frac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+1}}\geq \frac{(x+y)^2}{x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}}\geq \frac{(x+y)^2}{\sqrt{2(2x^2y^2+x^2+y^2)}}\geq \frac{x+y}{\sqrt{1+xy}}\Leftrightarrow (xy-1)(x-y)^2\geq 0$ ( đúng vì x > 1 và y > 1 )
Do đó LHS =RHS $\Leftrightarrow $ x=y
Thay x=y vào phương trình thứ 2 , suy ra $(\sqrt{2x-2}-3)(\sqrt{x+5}+\sqrt{x+2})=3\Leftrightarrow \sqrt{2x-3}-3=\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2}$
$\Leftrightarrow \frac{x-7}{\sqrt{2x-2}+\sqrt{x+5}}=\frac{7-x}{3+\sqrt{x+2}}\Leftrightarrow x=7$
Vậy x=y=7 là nghiệm của hệ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 12-09-2017 - 21:39
- minhducndc yêu thích
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
#3
Đã gửi 14-09-2017 - 14:00
Bài hàm phức tạp ra phết.
Đặt $P(x,y):f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$
$P(0,x):f(0)=f(xf(0))$
Nếu $f(0) \neq 0$ thì $xf(0)$ toàn ánh trên $\mathbb{R}$, do đó $f(x)=f(0),\forall x$
Mà dễ thấy $f$ không là hàm hằng nên $f(0)=0$
Giả sử $f(a)=0$, từ $P(a,0):f(0)=a^2=0$ ta có $a=0$, hay $f(a)=0 \Leftrightarrow a=0$
Nếu $\exists a,b$ sao cho $f(a)=f(b) \neq 0$, ta sẽ cmr $a=b$.
$P(a,0)-P(a,b-a): f((b-a)f(a))=0$
Hay $a=b$. Do đó $f$ đơn ánh.
$P(x,0)-P(-x,0): f(xf(x))=f(-xf(-x))$
Sử dụng tính đơn ánh và kết hợp $f(0)=-f(-0)=0$ thì $f(x)=-f(-x),\forall x$
$P(x+y,-x)-P(y,-x-y)-P(x,y): 2f(yf(x))=2xy \Leftrightarrow f(yf(x))=xy$
Đến đây thì quá dễ rồi, ta sẽ tìm được 2 nghiệm hàm thoả mãn là $f(x)= \pm x, \forall x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 14-09-2017 - 14:02
- CaptainCuong, Mr Cooper và minhducndc thích
#4
Đã gửi 12-10-2017 - 22:52
Theo kết quả quen thuộc thì $AD,BE,CF$ đồng quy
$(PEAC)=-1$, $M$ là trung điểm $PE$ nên $ME^2=MA.MC$ hay $P_{M;(I)}=P_{M;(O)}$
$(QFAB)=-1$, $N$ là trung điểm $QF$ nên $NF^2=NA.NB$ hay $P_{N;(I)}=P_{N;(O)}$
do đó $MN$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(I)$ hay $MN \perp OI$
Không biết mình có sai sót đâu không nhưng thấy hơi thừa giả thiết
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh