Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn Đội tuyển HSGQG tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 15-09-2017 - 12:01

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,CB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 15-09-2017 - 23:06

~O)  ~O)  ~O)


#2 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 15-09-2017 - 22:34

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2

           Câu 2 hình: đề nên sữa lại thành 

                 a: $AB,DC,EF$ đồng qui

                 b: $P,Q,E,F$ thẳng hành
Câu 3: a/  Thay: $x=0 => P(0)=0$
                Thay $x=3 => P(2)=0$

                       $=> P(x)=x(x-2)Q(x)$

 Thế vào trên được $Q(x)=Q(x-1) => Q(x)=C: const $

 Hay $P(x)=Cx(x-2)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 15-09-2017 - 22:56


#3 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 15-09-2017 - 22:38

Câu 1:  Đặt $v_n=\frac{1}{x_{n}+1}$   Hay thay $x_{n}=\frac{1-v_{n}}{v_{n}}$ 

 $=> v_{n+1}=1/3 +1/3.v_n $

           Tới đây dễ tìm được công thức tổng quát và lim 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 15-09-2017 - 22:58


#4 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 15-09-2017 - 23:11

Câu 1 : Cho dãy số $( x_n )$ thỏa mãn $x_1 = 2 , x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$

Xác định HSTQ Của $x_n$ và tìm $lim x_n$

 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,AB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Câu 3

a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng nhất thức :

$x.P(x-1)=(x-3).P(x)$

 

b) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y)$  $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Câu 4 :Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $a+b+c=a^2.(c-b)+b^2.(a-c)+c^2(b-a)$ 

Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27

 

Câu 5 : Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;a_2;...;a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá 2

       Câu4:

              $ a+b+c=(b-a)(a-c)(b-c)$
Bây giờ ta sẽ chỉ ra dù sao thì $a+b+c$ cũng chia hết cho $3$ 
          Trước tiên: nếu $3$ số $a,b,c$ có cùng số dư khi chia $3$ thì 
                 VP chia hết cho $3$
                       => VT  chia hết cho $3$
         Vậy còn trường hợp $a,b,c$ có bộ số dư khi chia cho ba lần lượt là $0,1,2$

                       Nhưng như vậy thì $a+b+c$  cũng chia hết cho $3$
Vậy $a+b+c$ chia hết cho $3$ nên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho $3$:

               Giả sử đó là $a,b$ cùng số dư  .

                     +>Ta giả sử $a,b$ chia cho $3$ cùng dư $0 $

                       => Vp Chia hết cho $3 => c$ chia hết cho $3 =>$ Vp chia hết cho $27 => a+b+c$ chia hết $27$

                    +> Giả sử a,b cùng chia 3 dư $1 =>$ vì $a+b+c$ chia hết cho 3 nên c cũng chia 3 dư 1

                         vậy $a-b,b-c,c-a $ chia hết cho $3 =>a+b+c$ chia hết 27 

                     +> cùng chia 3 dư 2  vì $ a+b+c$ chia hết cho 3 nên. c chia 3 dư 2 

                           Vậy $a-b;b-c;a-c $ chia hết cho $3 => a+b+c$ chia hết 27

===> QED 

               (lười Latex) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 15-09-2017 - 23:58


#5 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 16-09-2017 - 09:06

5. Giả sử $a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq ... \leq a_{2017}$ và $s_1\leq s_2 \leq ... \leq s_{C^{2}_{2017}}$. Ta xác định $S_m$ $( m = \overline{1,2017} )$  như sau :

\[S_ m =  \left \{ T_i | \frac{\sum_{i=1}^m a_i}{2} \leq s_i \leq \sum_{i=1}^m a_i \right \} \]

Ta chỉ cần chứng minh hợp của các $S_m$ phủ hết tập các $s_i$.

Giả sử phản chứng tức là tồn tại $j$, $m$ sao cho :

\[\sum_{i=1}^m a_i < s_j < \frac{\sum_{i=1}^{m+1} a_i}{2}\]

$\Rightarrow a_{m+1} > \sum_{i=1}^m a_i$ do đó $s_j < a_{m+1}$ $\Rightarrow $ $T_j \subset \left \{ a_1,...,a_m \right \}$ $\Rightarrow $ $s_j \leq \sum_{i=1}^{m} a_i$. Mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. $\square $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Donald Trump: 16-09-2017 - 09:39


#6 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 16-09-2017 - 18:40


 

Câu 2 : Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn $AB$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ cắt $(O)$ tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,CB,(O)$ tại $D,E,F$

 

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy

 

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $(O)$ tại $P,Q$

Chứng minh rằng $P,Q,D,E$ thẳng hàng

 

Trình của em làm đề này chỉ được 5 điểm :v

a, Giả sử CF cắt BA tại X , khi đó ta có CFDE , CFAB và DABE là tứ giác nội tiếp

Ta thấy $\widehat{XFD}=\widehat{CED}=\widehat{DAB}\rightarrow$ FXAD là tứ giác nội tiếp

Do đó $\widehat{XDA}=\widehat{XFA}=\widehat{CBX}=\widehat{CDE}\rightarrow \overline{X,D,E}$ ( đpcm )

b, Lấy P,Q là giao điểm của DE với ( O) ao cho D nằm giữa P và E

Theo phần a ta có $\overline{X,P,D,E,Q}$

Do CFPA VÀ XFDA là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{CPF}=\widehat{CAF}=\widehat{CXD}$

Suy ra $\Delta CPF\sim \Delta CXP$ ( g-g ) $\rightarrow CP^2=CF.CX$ (1)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông , $CH^2=CF.CX$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra CP=CH . Chứng minh tương tự ta có CQ=CH

Vậy ta có đpcm .


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#7 VLG0Gin

VLG0Gin

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 18-09-2017 - 20:43

ai giải câu 3b chưa



#8 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2017 - 23:43

bài pth xét 4 TH dễ thấy f(2)=0 hoặc f(2)=2 

th1 f(2)=0, f(1)=0

th2 f(2)=0, f(1)=3

th3 f(2)=2, f(1)=2

th4 f(2)=2, f(1)=1

cuối cùng có 3 nghiệm hàm là f(x) đồng nhất bằng 2,0 hoặc f(x)=x  (x là số thực)



#9 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 03-09-2018 - 13:21

Câu 3 b):

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y)$ $(1)$

Giải:

Cho $x=y=2$ thì $f(2)=2$

Cho $x=y=1$ thì $f(1)=1$ hoặc $f(1)=2$

TH$1$: Nếu $f(1)=2$ thay $y=1$ vào $(1)$ được $f(x)=2$ với $x>1$

Với $0<x<1$ chọn $y=1/x$ từ đó $f(x)=2$

TH$2$: $f(1)=1$ thì thay $y=1$ vào $(1)$ có $f(x+1)=f(x)+1$

Quy nạp được $f(x+n)=f(x)+n$ $(2)$ và thay $x=n, y=1/n$ ta được $f(1/n)=1/n$ từ đó $P(m,1/n) cho ta f(m/n)=(m/n)$

Ta cm đồng biến nữa là xong

Với $x>1$ thế $y=x/x-1$ thì $(1)$ trở thành $f(x/x-1)=f(x)/(f(x)-1)$ và dùng $(2)$ thì $f(1/x)=1/f(x)$ với $x$ thuộc $R+$

Xét $0<x<y<1$ thì $P(y-x,x)$ cho ta $f(y)>f(x)$ tức $f$ đồng biến trên $(0,1)$

Xét $1<x<y$ thì $f(1/y)<f(1/x)$ nên $f$ đồng biến trên $(1;+oo)$

Với mỗi $x>0$ chọn $(u_n), (v_n)$ hữu tỉ hội tụ về $x$ cho $n -> +oo$ thì $f(x)=x$ từ đó ta được $f(x)=2, f(x)=x$ với $x$ thuộc $R+$ 



#10 ocelot1234

ocelot1234

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 07-09-2018 - 00:50

Câu 5 có tổng quát được không nhỉ




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh