Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn học sinh giỏi THPT Khoa Học Tự Nhiên 2017-2018

đề thi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 19-09-2017 - 15:40

Ngày 1:

Bài 1: Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau: $ a_0=1, a_1=4, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1} $. Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.

Bài 4: Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?

 

 

 

 

 

Ngày 2:

Bài 5:  Cho n là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$ có m cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và m-1 là số chính phương. Chứng minh rằng n là số chính phương.

Bài 6: Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 19-09-2017 - 15:44

HSGS in my heart  :icon12:


#2 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 19-09-2017 - 19:38

$\frac{2(a^{2}+b)(b^{2}+a)}{(a+b-1)^{2}}\geq \frac{4a+4b-1}{2}$

 

 

 

Làm sao để suy ra bất đẳng thwucs này vậy nhỉ?



#3 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 19-09-2017 - 21:19

P4 D2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 19-09-2017 - 21:22

HSGS in my heart  :icon12:


#4 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 19-09-2017 - 22:02

P1: Dùng số hạng tổng quát và Fermat ?


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#5 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 20-09-2017 - 20:56

Ngày 1:

Bài 1: Cho $(a_n)$ xác định bởi công thức sau: $ a_0=1, a_1=4, a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1} $. Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

Bài 3: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $H,K$ là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD$. $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,AD,CH,CK$. $S,T$ lần lượt thuộc $AH,AK$ sao cho $PS \perp PM, QT \perp QN$. $AP,AQ$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $E,F$. Chứng minh rằng $SE,TF$ cắt nhau trên $(O)$.

Bài 4: Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau?

 

 

 

 

 

Ngày 2:

Bài 5:  Cho n là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\frac {1}{\sqrt [3]{x}} + \frac {5}{\sqrt [7]{y}} = \frac {1}{n}$ có m cặp nghiệm nguyên dương $(x,y)$ và m-1 là số chính phương. Chứng minh rằng n là số chính phương.

Bài 6: Cho 2 đường tròn $(O),(K)$ cắt nhau tại $A,B$ và $K$ nằm trên $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ lần thứ hai tại $P$, $PB$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $C$. Một đường thẳng bất kỳ qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $AP$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng $R,Q,K,C$ thuộc cùng đường tròn.

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$

                        Gọi Giao CK và AP là T

                        Gọi RN giao QM là H

        Dễ thấy: TK.TC=TA^2 
Lại có: KAP cân tại K => <KAP=KPA = <KCA=<KCB (DO CK là Phân giác ACB)

=> TK.TC=TP^2

=> TP=TA 

Đường trong O là đường tròn nội tiếp Tam giác HQR nên ba đường RM,HA,QN đồng qui tại điểm Lemone

               =>  (PAQT)=-1 Mà T là TĐ PA => TQ.TR=TA^2=TK.TC  ------->  RQKC nội tiếp                                      



#6 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 21-09-2017 - 00:48

Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P(\sqrt [3]{3})=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.

 

Bài 7: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0$. Chứng minh rằng:

$\frac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \frac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \frac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geq 0$

Bài 2. 

Dễ thấy $P(x)=(x^3-3)Q(x)+2017$

Đặt $Q(x)=a_{n} x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$ 

$P(x)=a_{n} x^{n+3}+a_{n-1} x^{n+2} +a_{n-2} x^{n+1} +( a_{n-3}-3a_{n} ) x^n+(a_{n-4}-3a_{n-1}) x^{n-1}+...+(a_{0}-3a_{3})x^3-3a_{2} x^2 -3a_{1} x +2017 - 3a_{0}$

Do $P(x)$ có hệ số không âm nên ta phải có hệ
$$\left\{\begin{matrix} a_{n},a_{n-1},a_{n-2} \geq 0\\ a_{n-3} \geq 3a_{n}\geq 0\\ ...\\ a_{0} \geq 3 a_{3} \geq 0\\ a_1 ,a_2 \leq 0\\ a_0 \leq \dfrac{2017}{3}\\ \end{matrix}\right.$$

Cho ta các nghiệm nguyên không âm $a_{n}=a_{n-1}=...=a_{1}=0$ hay $Q(x)=a_0=c \leq 672$ là hàm hằng. 

$P(1)=c+2017-3c=2017-2c \geq 673$

Dấu "=" xảy ra khi $P(x)=672 x^3 +1$

Bài 7. 

$VT=f(a,b,c) \geq f(|a|,|b|,|c|)$nên ta chỉ cần chứng minh trong TH a,b,c không âm. 

KMTTQ, $a \geq b \geq c$

$f(a,b,c)=\sum \dfrac{(a-b)(a-c)(a+b)(a+c)}{(b+c)^2}$

Dễ thấy $\dfrac{(a+b)(a+c)}{(b+c)^2} \geq \dfrac{(b+a)(b+c)}{(c+a)^2}$ 

nên theo bất đẳng thức Vornicul-Schur ta có đpcm.

 

#Ps: 2 bài hình vòng 1 năm nay có vẻ không thấm lắm :V 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 21-09-2017 - 00:49


#7 vda2000

vda2000

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{Bac Giang gifted High School}}$
  • Sở thích:$\boxed{\boxed{\rightarrow\bigstar\epsilon\delta\mu\bigstar\leftarrow}}$

Đã gửi 21-09-2017 - 07:31

Bài 2. 

Dễ thấy $P(x)=(x^3-3)Q(x)+2017$

Đặt $Q(x)=a_{n} x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$ 

$P(x)=a_{n} x^{n+3}+a_{n-1} x^{n+2} +a_{n-2} x^{n+1} +( a_{n-3}-3a_{n} ) x^n+(a_{n-4}-3a_{n-1}) x^{n-1}+...+(a_{0}-3a_{3})x^3-3a_{2} x^2 -3a_{1} x +2017 - 3a_{0}$

Do $P(x)$ có hệ số không âm nên ta phải có hệ
$$\left\{\begin{matrix} a_{n},a_{n-1},a_{n-2} \geq 0\\ a_{n-3} \geq 3a_{n}\geq 0\\ ...\\ a_{0} \geq 3 a_{3} \geq 0\\ a_1 ,a_2 \leq 0\\ a_0 \leq \dfrac{2017}{3}\\ \end{matrix}\right.$$

Cho ta các nghiệm nguyên không âm $a_{n}=a_{n-1}=...=a_{1}=0$ hay $Q(x)=a_0=c \leq 672$ là hàm hằng. 

$P(1)=c+2017-3c=2017-2c \geq 673$

Dấu "=" xảy ra khi $P(x)=672 x^3 +1$

$P(x)=1+2x^6+2x^9+2x^{15}+2x^{18}$ $P(\sqrt[3]{3})=2017, P(1)=9<674$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 21-09-2017 - 07:31

$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$

If you see this, you will visit my facebook.....!


#8 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 21-09-2017 - 20:35

Ý mình 

 

là sao nghĩ ra ấy



#9 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2017 - 00:02

bài 1 cũng có thể dùng số hạng tổng quát và số chính phương mod cũng được



#10 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 23-09-2017 - 10:29

Bổ đề. Với ba số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$ và số nguyên $x$ thỏa $a\sqrt[3]{x^2}+b\sqrt[3]{x}+c=0$ thì $x$ là lập phương của một số nguyên.

Chứng minh. Ta có $2a\sqrt[3]{x}=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$ nên $8a^3x=-b^3\pm 3b^2\sqrt{b^2-4ac}-3b(b^2-4ac)\pm (b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}$

Do đó $(b^2-ac)\sqrt{b^2-4ac}\in \mathbb{Q}$.

Nếu $b^2-ac=0$ thì do $b^2-4ac\geqslant 0$ nên $b=c=0$ nên $\sqrt[3]{x^2}\in\mathbb{Q}$ nên $\sqrt[3]{x^2}\in \mathbb{Z}$

Do đó $x^2=t^3$ nên $x=y^3$

Nếu $b^2-ac>0$ thì $\sqrt{b^2-4ac}\in \mathbb{Q}$ nên $\sqrt[3]{x}\in \mathbb{Q}$ nên $\sqrt[3]{x}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=y^3$

Bổ đề được chứng minh.

 

Bài 2. Thay $x=\sqrt[3]{3}$ vào và áp dụng bổ đề trên ta suy ra $P(x)=a_0+a_1.x^{3}+a_2.x^{6}+...+x_n.x^{3n}$

Ta có điều kiện: $a_0+3a_1+3^2.a_2+...+3^n.a_n=2017$

Nếu $a_i\geqslant 3$ thì bộ $(a_0, a_1, ..., a_i-3, a_{i+1}+1, ..., a_n)$ có tổng bé hơn.

Khi đó tất cả các số $a_i$ phải bé hơn $3$ nên khi viết $2017$ ta hệ tam phân thì ta được đa thức sau là đa thức cần tìm.

$P(x)=1+2x^6+2x^9+2x^{15}+2x^{18}$

 

Bài 5. Ta có: $\left(1-\dfrac{n}{x}.\sqrt[3]{x^2}\right)^7=\dfrac{(5n)^7}{y}\in \mathbb{Q}$

Chú ý là $1>\dfrac{n}{x}$ nên tồn tại $a,b,c$ nguyên thỏa mãn $a\ne 0$ và $a\sqrt[3]{x^2}+b\sqrt[3]{x}+c=0$

Áp dụng bổ đề ta suy ra $x=a^3$, từ đó suy ra $y=b^7$

Do đó ta viết lại phương trình: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{5}{b}=\dfrac{1}{n}$ hay $(a-n)(b-5n)=5n^2$

Đặt $n=5^kp_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t}$ thì số nghiệm sẽ là $2(k+1)(2a_1+1)(2a_2+1)...(2a_t+1)=c^2+1$

Do $c^2+1$ không chia hết cho $4$ nên $k+1$ lẻ nên $k$ chẵn.

Nếu $a_i$ lẻ thì $2a_i+1$ có dạng $4k+3$ nên tồn tại ước nguyên tố $p$ của $c^2+1$ có dạng $4k+3$, vô lý.

Vậy $a_i$ chẵn và $k$ chẵn nên $n$ là số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 23-09-2017 - 10:30

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#11 QQspeed22

QQspeed22

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-09-2017 - 19:07

Bài 2. Thay $x=\sqrt[3]{3}$ vào và áp dụng bổ đề trên ta suy ra $P(x)=a_0+a_1.x^{3}+a_2.x^{6}+...+x_n.x^{3n}$

Tại sao lại có được điều này ?



#12 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 23-09-2017 - 19:52

Tại sao lại có được điều này ?

 

$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$, khi đó $201=P\left(\sqrt[3]{3}\right)=(a_0+3a_3+...)+(a_1+3a_4+...)\sqrt[3]{3}+(a_2+3a_5+...)\sqrt[3]{3^2}$

Áp dụng bổ đề ta suy ra $a_1+3a_4+...=a_2+3a_5+...=0$ nên chỉ còn các mũ chia hết cho $3$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#13 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-09-2017 - 23:18

Bài 4 số số lớn nhất là 2014 , điều này xảy ra khi đổi 1 - 2010 1 lượt rồi đổi 2008-2017 .

 

Ta xét Si là tổng các số có vị trí i đồng dư theo mod 10 . Bất biến là nếu 1 lượt biến đổi thì các Si đều bằng nhau :)







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh