Với mọi $n >4$ chứng minh : $n^{2}<2^{n}$
Với mọi $n >4$ chứng minh : $n^{2}<2^{n}$
#2
Đã gửi 15-10-2017 - 18:39
quy nạp được k nhỉ
giả sử đúng với $n=k$ ta có $2^k \geq k^2$
ta chứng minh đúng với $n=k+1$
ta phải chứng minh $2^{k+1}\geq (k+1)^2$
có$ 2^{k+1}> 2k^2$
$2k^2> k^2+2k+1$
<=> $(k-1-\sqrt{2})(k-1+\sqrt{2})$ đúng với $k>4$
=> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 15-10-2017 - 18:40
Duyên do trời làm vương vấn một đời.
#3
Đã gửi 30-01-2018 - 19:10
quy nạp được k nhỉ
giả sử đúng với $n=k$ ta có $2^k \geq k^2$
ta chứng minh đúng với $n=k+1$
ta phải chứng minh $2^{k+1}\geq (k+1)^2$
có$ 2^{k+1}> 2k^2$
$2k^2> k^2+2k+1$
<=> $(k-1-\sqrt{2})(k-1+\sqrt{2})$ đúng với $k>4$
=> đpcm
không quy nạp được bởi đề bài yêu cầu là với mọi n>4
- Khoa Linh yêu thích
#4
Đã gửi 14-03-2018 - 16:09
Với mọi $n >4$ chứng minh : $n^{2}<2^{n}$
Ta cần chứng minh $n^2< 2^n,\forall n> 4$ ($n\in\mathbb{N}$) (*)
+ Với $n=5$, ta có $5^2< 2^5$ $\rightarrow$ (*) đúng.
+ Giả sử (*) đúng khi $n=k\geqslant 5$, tức là ta có $k^2< 2^k$ (1)
Xét dấu tam thức $x^2-2x-1$ (với điều kiện $x> 0$), ta có $x^2-2x-1> 0\Leftrightarrow x> 1+\sqrt2$
Vì $k\geqslant 5> 1+\sqrt2$ nên ta cũng có $k^2-2k-1> 0$
$\Leftrightarrow k^2> 2k+1\Leftrightarrow 2k^2> k^2+2k+1=(k+1)^2\Leftrightarrow \frac{(k+1)^2}{k^2}< 2$ (2)
Nhân (1) và (2), vế theo vế, ta được $(k+1)^2< 2^{k+1}$. Vậy (*) cũng đúng khi $n=k+1$
+ Theo nguyên lý quy nạp, (*) đúng với mọi $n> 4$ ($n\in\mathbb{N}$)
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh