Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển quốc gia chuyên Quốc Học Huế ngày 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 25-09-2017 - 21:33

Câu 1 : Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn 
$$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)(f(x^2)+f(y^2)-f(xy)),\forall x,y \in \mathbb{R}$$ 
Câu 2 : 
a) Cho $a_0>a_1>a_2>...>a_n$ là các số nguyên dương sao cho $a_0-a_n<a_1+a_2+...+a_n$ .Chứng minh tồn taị $i$ với $1 \le i \le n$ sao cho : 
$$0 \le a_0-(a_1+a_2+...+a_i)<a_i$$ 
b) Chứng minh rằng mỗi số nguyên dương lớn hơn $2$ có thể biểu diễn thành tổng của các lũy thừa phân biệt có dạng $a^b$ với $a \in \{3,4,5,6\}$ và $b$ là số nguyên dương. 
Câu 3: Goị $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó . $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. Gọi $F,E$ lần lượt là các điểm trên cạnh $BC$ và trên cung $BDC$ sao cho $\widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\frac{1}{2}\widehat{BAC},G$ là trung điểm của đoạn $IF$. Chứng minh $DG$ và $EI$ giao tại một điểm trên $(O)$ 
Câu 4: Một dãy $(a_1,a_2,..,a_k)$ các ô phân biệt của bàn cờ $n\times n$ được gọi là chu trình nếu $k \ge 4$ và các ô $a_i,a_{i+1}$ có cùng cạnh với mọi $i=1,2,..,k$ ở đây $a_{k+1}=a_1$. Tập hợp $X$ gồm các ô của bàn cờ được gọi là đẹp nếu mỗi chu trình đều chứa ít nhất một ô của $X$. Xác định tất cả các số thực $C$ sao cho với mỗi số nguyên $n\ge 2$ ,trên bàn cờ $n\times n$ có một tập con đẹp chứa không quá $C.n^2$ ô vuông


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-10-2017 - 09:42


#2 dunglamtym

dunglamtym

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh
  • Sở thích:Mọi thứ Toán trừ lượng giác

Đã gửi 25-09-2017 - 21:47

Câu 1: 

Cho x=y=0 => f(0)=0

Cho y=0 => f(x3)=x.f(x2

Có: f(x3) + f(y3) = (x+y)(f(x2)+ f(y2) - f(xy))

=> x.f(x2) + y.f(y2)=(x+y)(f(x2)+ f(y2) - f(xy))

=> y.f(x2) + x.f(y2) = ( x+y).f(xy) (1)

Thay y bởi -x vào phương trình đã cho ta có : f(x3) = -f(-x3) => f là hàm lẻ.

Thay y bởi -y vào (1) ta có : -y.f(x2) +x.f(y2) = (x-y).f(-xy) = (y-x).f(xy) ( do f là hàm lẻ)  (2)

Cộng (1) và (2) ta có: x.f(y2) = y.f(xy) (3)

Thay y bởi 1 vào (3) ta có: x.f(1) = f(x)

=> f(x) = ax với mọi x thuộc R ( với a=f(1))

Thử lại đúng. Vậy ... 

*Ghi chú: ở đằng sau các phương trình đều phải ghi với mọi x,y thuộc R ( lười nên thôi :v)



#3 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-09-2017 - 00:41

 Câu4 Đáp án : $n^2/4$ . 

 

Thật vậy ta có nhận xét : Cứ 1 tập con đẹp thì mỗi ô vuông 2*2 đều bị tập con này lấy ít nhất 1 ô :)



#4 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:furry

Đã gửi 26-09-2017 - 16:30

 Câu4 Đáp án : $n^2/4$ . 

 

Thật vậy ta có nhận xét : Cứ 1 tập con đẹp thì mỗi ô vuông 2*2 đều bị tập con này lấy ít nhất 1 ô :)

Tổ hợp mà dễ thế này phải xem lại.

Coi bàn cờ là một đồ thị với các đỉnh là các ô vuông, hai đỉnh nối với nhau nếu hai ô vuông có cạnh chung. Có tất cả $n^2$ đỉnh và $2n(n-1)$ cạnh. Nếu ta bỏ các đỉnh thuộc $X$ thì thu được một đồ thị không chứa chu trình (vì không có chu trình nào không có đỉnh thuộc $X$). Gọi số đỉnh bị bỏ đi là $v$, số cạnh bị mất do bỏ đỉnh là $e$, vì mỗi đỉnh có bậc không quá $4$ nên $e\leq 4v$. Vì đồ thị thu được không có chu trình nên số đỉnh lớn hơn số cạnh suy ra $n^2-v> 2n(n-1)-e\geq 2n(n-1)-4v\Rightarrow v> \frac{n^2-2n}{3}$. Ta có $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{n^2-2n}{3}}{n^2}= \frac{1}{3}$ nên $C\geq \frac{1}{3}$.

Đánh số các hàng, cột từ $1$ đến $n$. Cột nào có số chia $3$ dư $2$ chọn các ô thuộc hàng chẵn, cột nào có số chia hết cho $3$ chọn các ô thuộc hàng lẻ.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh