Chủ đề này có 3 trả lời

[Kamii0909]

Tìm tất cả $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn

$$f(x^2+f(xy))=xf(x+y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

[audreyrobertcollins]

trước tiên ta nhận thấy pt có 1 ngh là f(x) đồng nhất bằng 0

ta thấy f(f(0))=0 thay y bởi f(0) trong pt đầu ta được f(x^2)=xf(x) suy ra f là hàm lẻ

suy ra luôn tồn tại số thực a thỏa f(a)=0

th1: a khác 0 lúc này thay x bởi a ta được f(x) là hàm hằng...... 

th2: suy ra chỉ có một giá trị là x=0 thỏa mãn f(x)=0 

thay x bởi -y ta được f(x^2)=x^2 mọi x thực 

lại có do tính lẻ của hàm f suy ra f(x)=x vs mọi x thực

Vậy.....

[Kamii0909]

trước tiên ta nhận thấy pt có 1 ngh là f(x) đồng nhất bằng 0

ta thấy f(f(0))=0 thay y bởi f(0) trong pt đầu ta được f(x^2)=xf(x) suy ra f là hàm lẻ

suy ra luôn tồn tại số thực a thỏa f(a)=0

th1: a khác 0 lúc này thay x bởi a ta được f(x) là hàm hằng...... 

th2: suy ra chỉ có một giá trị là x=0 thỏa mãn f(x)=0 

thay x bởi -y ta được f(x^2)=x^2 mọi x thực 

lại có do tính lẻ của hàm f suy ra f(x)=x vs mọi x thực

Vậy.....

Làm đầy đủ chút được không bạn.
$P(x,f(0)):f(x^2+f(xf(0)))=xf(x+f(0))$
$P(a,y):f(a^2+f(ay))=af(y+a)$

Như bạn thấy cả 2 đẳng thức này chả thu được gì cả. 

[manhtuan00]

$f(x^2+f(xy)) = xf(x+y)$

Thế $ y = -x$ ta có $f(x^2+f(-x^2)) = xf(0) = -xf(0)$ với mọi $x$ nên $f(0) = 0$ . Từ đây ta có $f(x^2+f(-x^2)) = 0$

Thế $y = 0$ ta có $f(x^2) = xf(x)$ 

Giả sử tồn tại $a$ khác $0$ để $f(a) = 0$ . Theo điều trên ta có $f(a^2 ) = af(a) = 0$ 

Thế $y = \frac{a}{x}$ , $x \neq 0 $ ta nhận được $f(x+\frac{a}{x}) = 0$ .

Xét phương trình $x +\frac{a}{x} = m$ , phương trình này có nghiệm khi $m^2 \geq 4a$ 

Vậy ta xét $3$ khoảng : $I_1 = ( - 2 \sqrt{a} , 2 \sqrt{a}) , I_2 = (- \infty , -2\sqrt{a}] , I_3 = [2\sqrt{a} , \infty )$ . Khi đó , $m \in I_2 , I_3$ thì $f(m) = 0$ 

Ta xét $x$ rất lớn , $y = a-x$ với $ a \in I_1$ . Khi đó thế vào đẳng thức ban đầu ta có $f(a) = 0$ nên $f(x) = 0$  $\forall$ $x $ $\in $ $\mathbb R$

Vậy nếu xét trường hợp $f$ không là hằng số thì $f(x) = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$ , điều này suy ra $f(-x^2) = -x^2$ , tức là $f(x) = x$ với mọi $x$ âm 

Mà ta lại có $f(x^2) = xf(x) = -xf(-x)$ nên $f(-x) = -f(x)$ , kết hợp $2$ điều này suy ra $f(x) = x$ với mọi $x$ 

Vậy $f(x) = x$ hoặc $f \equiv 0$  $\forall $ $x$ $\in $ $\mathbb R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 26-10-2017 - 22:56