Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển trường Phan Bội Châu - Nghệ An 2017-2018


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 08-10-2017 - 10:34

22323463_195684234340084_71702876_n.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 08-10-2017 - 14:48

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#2 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 08-10-2017 - 15:19

Bài 4: Gọi $a_{i}$ là số ô vuông được tô đỏ trên hàng thứ $i$. Khi đó $S=\sum_{i=1}^{13}{a_i}$.

Số cặp ô vuông tô đỏ trên cùng 1 hàng là $\binom{a_i}{2} \Rightarrow$ số cặp ô vuông tô đỏ trên bảng là $\sum_{i=1}^{13}{\binom{a_i}{2}}$

Ta có kí hiệu tọa độ của mỗi ô vuông là $(a_i,b_i)$ với $a_i$ là số thứ tự hàng và $b_i$ là số thứ tự cột.

 Khi đó tọa độ của mỗi cặp ô vuông là $(a_i,b_i,a_j,b_j)$. Ta thực hiện động tác chuyển tất cả các cặp ô vuông được tô đỏ vào hàng thứ 1 bằng cách cho chiếu thẳng đứng từng cặp ô vuông tương ứng với 1 cặp ô vuông ở hàng 1, khi đó $b_i,b_j$ không có ý nghĩa nữa ( cùng bằng 1 ) $\Rightarrow$ tọa độ của 1 cặp ô vuông tô đỏ được xác định $(a_i,a_j)$

Lúc này ta không có cặp ô vuông nào được tô đỏ cùng tọa độ. Thật vậy giả sử có 2 cặp ô vuông tô đỏ có tọa độ bằng nhau $(a_i,a_j) = (a'_i ,a'_j )$ suy ra 2 cặp ô vuông này thằng đứng với nhau ( Vô lí vì khi trước lúc chuyển 2 cặp ô vuông này đã tạo thành 1 hình chữ nhật có 4 góc tô đỏ ).

Vậy các cặp ô vuông tô đỏ phân biệt với nhau, cùng nằm trên 1 hàng $\Rightarrow$ tất cả các cặp ô vuông tô đỏ sẽ là các cặp ô vuông khác nhau cùng nằm trên 1 hàng

 Vì thế tổng số cặp ô vuông được tô đỏ nhỏ hơn hoặc bằng tổng số cặp ô vuông cùng 1 hàng hay $\sum_{i=1}^{13}{\binom{a_i}{2}} \leq \binom{13}{2}$

 $\Rightarrow \sum_{i=1}^{13}{\frac{a_i(a_i -1)}{2}} \leq  \binom{13}{2}$

 $\Rightarrow  \sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}} - S \leq 2. \binom{13}{2}$

 $\Rightarrow \frac{1}{13}. \sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}}.13 - S \leq  2. \binom{13}{2}$

 Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ thì $\sum_{i=1}^{13}{a^{2}_{i}}.13 \geq  (\sum_{i=1}^{13}{a_i})^{2} = S^{2}$

Suy ra $\frac{S^{2}}{13}-S \leq 156 \Rightarrow S \leq 52$ vậy có thể tô đỏ tối đa $52$ ô vuông thỏa mãn bài toán.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 08-10-2017 - 15:34

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 14-10-2017 - 00:39

Bài 2. Đầu tiên ta có $a_n>2\;\;\forall n\in\mathbb{N}^*$ nên $|a_{n+1}-3|=\dfrac{1}{a_n}.|a_{n}-3|<\dfrac{1}{2}.|a_{n}-3|$

Do đó theo định lý Stolz, ta có $3=\lim a_{n}=\lim \dfrac{a_1+a_2+...+a_{n}}{n} \geqslant a$

Ta sẽ chứng minh $a=3$ thỏa mãn.

Nhận xét là $a_{n}>3$ nếu $n$ lẻ và $a_n<3$ nếu $n$ chẵn.

Với $n=1$ thì $a_1+a_2+...+a_n>3n$. Giả sử $a_1+a_2+...+a_n>3n$ với $n\geqslant 1$

Khi đó, $n$ chẵn thì $a_1+a_2+...+a_{n+1}>3n+a_{n+1}>3(n+1)$

$n$ lẻ thì $a_1+a_2+...+a_{n+1}>3(n-1)+a_{n}+a_{n+1}=3(n-1)+a_n+\dfrac{3}{a_n}+2=3(n+1)+\dfrac{(a_n-3)(a_n-1)}{a_n}>3(n+1)$

Do dó theo quy nạp ta có $a_1+a_2+...+a_n>3n$ với mọi $n$.

Do vậy mà $VT\geqslant \sqrt{n^2x^2+(a_1+a_2+...+a_n)^2}>n\sqrt{x^2+9}$

 

Bài 5. Thay $y=0\Rightarrow f(x+f(0))=f(x)$, do $f$ đơn điệu và $f\equiv c$ không thỏa nên $f(0)=0$

Thay $x=0\Rightarrow f(f(y))=y^n$

TH1: $n$ chẵn

- Nếu $f$ đồng biến thì xét $0>x>y$.

Khi đó $f(x)\geqslant f(y)$ nên $f(f(x))\geqslant f(f(y))$ hay $x^n\geqslant y^n$ nên $x\leqslant y$ vô lý.

- Nếu $f$ nghịch biến thì xét $0>x>y$.

Lúc này $f(x)\leqslant f(y)$ nên $f(f(x))\geqslant f(f(y))$ hay $x^n\geqslant y^n$ nên $x\leqslant y$ vô lý.

TH2: $n$ lẻ

Thay $x=f(1), y=1$ ta được $2^n=2$ nên $n=1$. Thay $y=f(y)$ ta được $f(x)+f(y)=f(x+y)$

Áp dụng chứng minh phương trình hàm Cauchy cho hàm đơn điệu ta suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 14-10-2017 - 01:03

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 01-12-2017 - 12:13

Lời giải bài hình vòng 1.



#5 khanhdat1

khanhdat1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Đã gửi 01-12-2017 - 12:17

Lời giải bài hình vòng 1.

File gửi kèm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh