Chứng minh rằng không tồn tại hai ma trận vuông cùng cấp $A, B$ thỏa mãn $AB - BA = I$.
#2
Đã gửi 12-10-2017 - 21:36
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 Bài viết
Thiếu úy
Chứng minh rằng không tồn tại hai ma trận vuông cùng cấp $A, B$ thỏa mãn $AB - BA = I$.
Đề bài này sai. $A$ và $B$ ở đây là hai ma trận không rõ là với hệ số trong trường nào? Nếu chọn trường là $\mathbb{K}=\mathbb{F}_{2}$ thì xét các ma trận $A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{pmatrix}$ $B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ sẽ ngay lập tức có $$AB-BA=\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Còn nếu chọn trường $\mathbb{K}$ có đặc số $0$, thì đề bài này sẽ đúng. Lý do là bởi vì $trace(AB-BA)=0$ trong khi $trace(I)=n.1_{\mathbb{K}}$ mà trong trường có đặc số bằng $0$ thì $n.1_{\mathbb{K}}\neq 0$.
- Ruby Dalek yêu thích
"Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine." (M. Atiyah)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
