NGÀY THỨ NHẤT
Câu 1 (5 điểm)
Giải phương trình :
$$(5x-4)\sqrt{2x-3}-(4x-5)\sqrt{3x-2}=2$$
Câu 2 (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả :
$$g\left [ g(x)-x^2+yz \right ]=g(x)\left [ g(x)-2x^2+2yz \right ]+z^2\left [ y^2-g(y) \right ]+y^2\left [ z^2-g(z) \right ]-2x^2yz+x+g(y)g(z)+x^4,\;\forall x,y,z\in \mathbb{R}$$
Câu 3 : (5 điểm)
Một số tự nhiên được gọi là "số may mắn" nến tổng các chữ số của nó là $7$. Gọi $a_1,a_2,...,a_n,..$ là dãy tất cả các "số may mắn" được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Hỏi :
1. Số $2014$ là số hạng thứ mấy của dãy ?
2. Số hạng $a_{325}$ là số nào ?
Câu 4 (5 điểm)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. $D$ đối xứng $B$ qua $A$ và $M$ là trung điểm $CD$. Đường tròn $(BDM)$ cắt $AC$ ở $E$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường tròn $(BCE)$ cắt $BM$ tại $F$ khác $B$. $BE,CF$ cắt nhau ở $I$. $BM,DI$ cắt nhau ở $K$.
1. Chứng minh $CM=MF$.
2. Chứng minh $I$ là tâm nội tiếp tam giác $BKC$.
NGÀY THỨ HAI
Câu 1 (7 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ với hai đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Qua hai điểm $A, F$ dựng hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $BC$ theo thứ tự tại $P, Q$ sao cho $B$ nằm giữa $P$ và $Q$. Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $PE$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh $I, F, Q$ thẳng hàng.
Câu 2 (7 điểm). Với $X$ là một tập hợp các số thực, ta kí hiệu $S\left( X \right)$ là tổng các phần tử thuộc tập $X$. Một tập $A$ gồm các số nguyên dương được gọi là tập “nguyên tố” nếu với mọi tập con $B$ khác rỗng của tập $A$ thì $\left( S(B),(SA) \right)=1$ (trong đó $\left( a,b \right)$ là ước chung lớn nhất của hai số $a,b$).
1) Tìm một tập “nguyên tố” gồm 6 phần tử.
2) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để tồn tại $a,b\in \mathbb{N}$ sao cho tập $A=\left\{ {{(a+b)}^{2}},{{(a+2b)}^{2}},...,{{(a+nb)}^{2}} \right\}$ là tập “nguyên tố”.
Câu 3 (6 điểm). Cho $m$ là số nguyên dương. Biết $2^{m+1}+1$ là ước số của $3^{2^m}+1$. Chứng minh rằng $2^{m+1}+1$ là số nguyên tố.
