Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia tỉnh Nam Định năm 2017- 2018


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Hieutran2000

Hieutran2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định

Đã gửi 16-10-2017 - 18:43

Ngày 1
Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+7y+2x\sqrt{1-x}= 3\sqrt{1-x}+3(2y^{2}+1)
& \\ \sqrt{2y^{2}-4y+3} =5-y+\sqrt{x+4}
&
\end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $x_{1}= 4; x_{n+1}= \frac{x_{n}^{4}+9}{x_{n}^{3}-x_{n}+6} \forall n \in \mathbb{N^{*}}$.
1. Chứng minh rằng $lim x_{n}= +\infty$.
2. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^{3}+3}$. Tìm $lim y_{n}$.
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(J)$ qua $B, C$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ tại $F$ và $E$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ 2 là $D$.
1. Gọi $P$ và $Q$ là giao điểm thứ 2 của $DE$ và $DF$ với $(O)$. Chứng minh các đường thẳng $PC, BQ$ và $AO$ đồng quy.
2. Giả sử $EF$ cắt $BC$ ở $K$. Gọi $O_{1}, O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEF$ và tam giác $KFB$. Chứng minh trực tâm tam giác $O_{1}O_{2}O$ nằm trên $AB$.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:
$f(y)f(x+f(y))= f(x)f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R^{+}}$.
Bài 5:
1. Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2017}$. Có bao nhiêu tam giác nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác trên?
2. Cho $2n+3$ điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kì không thẳng hàng và 4 điểm bất kì không cùng nằm trên một đường tròn.
a. Chứng minh tồn tại đường tròn $(C)$ đi qua 3 trong số các điểm trên sao cho trong các điểm còn lại có $n$ điểm nằm trong và $n$ điểm nằm ngoài đường tròn.
b. Xét $2n$ điểm đã cho và không thuộc đường tròn $(C)$, nối tất cả các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong số các điểm này. Các đoạn thẳng này và đường tròn $(C)$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?


Ngày 2
Bài 1: Xét các số thực $a, b, c \in [0; 1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P= \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$
Bài 2: Cho dãy đa thức $(P_{n})_{n=0}^{+ \infty }$ được xác định $P_{0}(x)= x$ và
$P_{n+1}(x)= -2xP_{n}(x)+ P_{n}^{'}(x), \forall n \in \mathbb{N^{*}}$
1. Chứng minh $P_{n}^{'}(x)= -2(n+1)P_{n-1}(x)$ với mọi số nguyên dương $n$;
2. Tính $P_{2017}(0)$.
Bài 3: Cho hai điểm cố định $B, C$ trên đường tròn $(O)$. Một điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ luôn là tam giác nhọn và không cân tại $A$. Đường phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Điểm $F$ nằm trên $BC$ sao cho $FD= FE$.
1. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $EF$. Chứng minh rằng $A, O, H$ thẳng hàng, từ đó suy ra $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
2. Một đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các tia $AB, AC$ và tiếp xúc với đường thằng $EF$ tương ứng tại $M, N, P$ ($I$ và $A$ nằm về cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $EF$). Gọi $Q$ là điểm trên đường thẳng $MN$ sao cho $PQ$ vuông góc với $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên đường tròn $(O)$.
Bài 4: Cho $a, b$ là hai số thực thỏa mãn $a^{p}- b^{p}$ là số nguyên dương với mỗi số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng $a, b$ là các số nguyên.
Bài 5:
1. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho 101 điểm $A_{k}(k;100), k= 0,1,...,100$. Tìm số đoạn thẳng $OA_{k}$ không đi qua điểm nào có tọa độ nguyên (cả hoành độ và tung độ đều nguyên) trừ 2 đầu mút của nó.
2. Cho đa giác lồi có lẻ đỉnh. Mỗi cạnh được tô bởi 1 trong 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Giả sử ban đầu các màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ,..., đỏ, xanh, vàng. Mỗi bước có thể đổi màu 1 cạnh sao cho không có 2 cạnh kề nhau (chung đỉnh) được tô cùng màu. Hỏi sau hữu hạn bước có thể nhận được trạng thái mà màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ, xanh,..., đỏ, vàng, xanh hay không?

Hình gửi kèm

  • 20171016_184247-1.jpg
  • 20171017_182046-min.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 17-10-2017 - 18:24

$\sum =\prod$


#2 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 17-10-2017 - 12:39

Bài 3: a) Ta có $ \angle PDQ =\angle BAC$ nên $ BC=PQ$ suy ra $ BQCP$ là hình thang cân.

  Do đó $AO, PC, BQ$ đồng quy.

b)

Ta có $D$ là điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $ BFECAK$. Dễ thấy đối xứng của $D$ qua $ OO_1, OO_2, O_1O_2$ lần lượt là $A, B, F$ thẳng hàng nên $D$ nằm trên $(OO_1O_2)$ và $AB$ là đường thẳng $Steiner$ của điểm $D$ ứng với $ \bigtriangleup OO_1O_2 $, do đó trực tâm của $ OO_1O_2$ nằm trên $AB$.

(Đường tròn qua $ O, O_1, O_2, D$ là đường tròn $Miquel$ của tứ giác toàn phần $BFECAK$) 

Hình gửi kèm

  • 22643053_888766214605331_1180599716_o.png


#3 lenadal

lenadal

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 161 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Lê Hồng Phong Nam Định
  • Sở thích:số học

Đã gửi 17-10-2017 - 20:00

Bài 1 ngày 2

Hình gửi kèm

  • IMG_0837.JPG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 17-10-2017 - 20:02

Lê Đình Văn LHP    :D  :D  :D 

http://diendantoanho...150899-lenadal/


#4 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-10-2017 - 21:07

Bài 4 thì chắc không tính p=2 , thôi đằng nào cũng vậy . Bổ đề , với mọi a,b hưũ tỷ dương thì thoả mãn ycbt thì a,b phải nguyên 



#5 loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Hưng Đạo

Đã gửi 17-10-2017 - 22:27

Bài 2:

a) Dãy $(x_{n})$ tăng. Gỉa sử $(x_{n})$ bị chặn trên. Theo nguyên lí Weierstrass thì có giới hạn $L\in R$. Chuyển hệ thức truy hồi của dãy qua giới hạn ta được: $L=\frac{L^{4}+9}{L^{3}-L+6}\Leftrightarrow L=3$ ( vô lí vì $x_{1}=4$ và dãy tăng)

Nên dãy không bị chặn và $\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=+\infty$

b) Viết lại dãy thành: $\frac{1}{x_{n}^{3}+3}=\frac{1}{x_{n}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$

$limy_{n}=lim(\frac{1}{x_{1}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3})=lim\frac{1}{x_{1}-3}=1$ ( vì $limx_{n+1}=+\infty$ )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 17-10-2017 - 22:36

 


#6 Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:vinahey :V

Đã gửi 23-10-2017 - 21:51

Bài tổ hợp 

1)(ngày 2)

ta thấy rằng các đoạn $OA_k$ đi qua một điểm $(p;q)$ nguyên khi và chỉ khi $\frac{p}{q}=\frac{k}{100}$ và $q<100$ 

Có nghĩa là khi này phân số $\frac{k}{100}$ không tối giản. 

Do đó số đoạn $OA_k$ thỏa mãn đề bằng số các số nguyên dương $k<100$ và nguyên tố với 100 hay là bằng $\phi(100)=40$

1)(ngày 1)

Gỉa sử tam giác $A_{i} A_{j}A_{k}$ thỏa mãn đề ; khi đó số đo của các cung nhỏ chắn bởi 3 cạnh $A_{i}A_{j}$;$A_{j}A_{k}$:$A_{k}A_{i}$ lần lượt có dạng $\frac{360x}{2017};\frac{360y}{2017};\frac{360z}{2017};$ với $x+y+z=2017(1)$(x;y;z là các số nguyên dương). Giả sử $m\le n$ và $m\le p$

vì tam giác trên nhọn nên $x;y;z<\frac{2017}{2}$ hay $x;y;z\le 1009$. Đặt $m=1009-x;n=1009-y;p=1009-z$. Khi này; (1) trở  thành

$m+n+p=1010(*)$

Nếu $m=0$ thì số nghiệm tự nhiên của $(*)$ (trong đó $m;n$ khác 0) là $504$

Nếu $m\neq 0$ thì số nghiệm nguyên dương của $(*)$ là $C^{2}_{1009}:6=84756$

Khi đó tổng số các bộ số $x;y;z$ thỏa mãn đề là 85260

Tuy nhiên mỗi tam giác có một bộ 3 cung chắn như trên đều có thể quay 2017 lần để tạo ra các hình tam giác khác

Vậy số hình tam giác thỏa mãn đề là $171969420$ :wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 23-10-2017 - 21:52

Sống khỏe và sống tốt :D


#7 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 03-09-2018 - 02:22

Ngày $1$:

Bài $1$: Nhìn vào thấy ngay đưa về hàm đặc trưng, đặt $t=\sqrt{1-x}$ thì $2(y-1)^3+(y-1)=2t^3+t$ xét $g(z)=2z^3+z$ thì $g'=6z^2+1>0$ nên $g$ đồng biến

Từ đó $y-1=t$ thay vào $(2)$ thì BP lên đc $(t-2)(2t^3+4t^2+15t+10)=0$ và chú ý hàm bậc $3>0$ bằng cách đánh giá $t$ và giải ra nghiệm duy nhất $(3,-3) $

Ngày $2$:

Bài $2$: CM = quy nạp theo $n$. G/s đúng tới $n+1$ thì: $P_{n+1}(x)=-2xP_{n}(x)+P'_n(x)=-2xP_n(x)-2(n+1)P_{n-1}(x)$

Đạo hàm $2$ vế ta được: $P'_{x+1}(x)=-2P_n(x)+4x(n+1)P_{n-1}(x)-2(n+1)P'_{n-1}(x)=-2(n+2)P_n(x)$ và hoàn tất gt quy nạp (ĐPCM)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 03-09-2018 - 11:04


#8 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 03-09-2018 - 02:56

Bài $3$: Ặc  :wacko: 

$f(y)f(x+f(y))=f(x)f(xy)$ $(1)$
Gọi $P(u,v)$ là phép thế $x$ bởi $u$, $y$ bởi $v$ vào $(1)$. Đặt $f(1)=a$
$P(x,1): f(x+a)=f(x)^2/a$
$P(x+a,y): f(y)f(x+a+f(y))=f(y)f(x+f(y))^2/a=f(x+a)f(xy+ay)=f(x)^2f(xy+ay)/a$
$\Rightarrow  f(x+f(y))=f(x)f(xy+ay)/f(xy) \Rightarrow  f(y)f(xy+ay)=f(xy)^2$
$P(x,2): f(2x)^2=f(2)f(2x+2a)=f(2)f(2x+a)^2/a=f(2)f(2x)^4/a^3$ nên $f(2x)^2=a^3/f(2)$
Điều này có nghĩa là $f$ là hàm hằng. Từ đó $f(x) \equiv c$ với $c$ là hằng số $>0$ là đáp án bài toán


#9 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 03-09-2018 - 10:06

Ngày $2$, bài $3$:

Gọi $BI$, $CJ$ là $2$ đg cao, pg $AD$ cắt $IJ$ tại $L$. Khi đó $KLD=A/2+B=KDL$ nên $KD=KL$

Vậy $KLD=KDL=EDF=DEF$ nên $KL//EF$ mà $AO$ vg $KL$ nên $A,O,H$ thẳng hàng
Khi đó $H$ nằm trên đg tròn $(O,OE)$ cố định do $E$ cố định vì $BC$ cố định
b) Ta cm $AQ$ là đg đối trung
Theo câu $a$ thì  $IQ//AO$ nên $QIA=IAO=A/2-(90-B)$
Vậy $MIA=90-A/2$ nên $QIM=180-A-B=C$ và $QIN=QIA+AIN=A/2+B-90+90-A/2=B$
Vậy $QM/QN=IM/IN.sinQIM/sinQIN=AB/AC$
Từ đó $sinQAB/sinQAC=AB/AC$ theo t/c quen thuộc thì $Q$ nằm trên đg đối trung góc $A$ là $1$ đgt cố định vì $B,C$ cố định


#10 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 03-09-2018 - 10:56

Ngày $2$, bài $5$:

Kí hiệu ba màu Đỏ, Xanh, Vàng bởi $3$ số $1,2,3$

Dãy kí hiệu ban đầu được viết lại thành $1212...123$ (trạng thái $(1)$)

Ta sẽ cm dãy đó không thể đưa về $1212...132$ (trạng thái $(2)$) được

Do đang tính trên đa giác nên ta đánh chỉ số các đỉnh là $A_1, A_2, ... , A_n$ theo $mod (n)$, với $n$ lẻ và $1$ đỉnh luôn có $2$ đỉnh kề

TH $n=3$ rõ ràng thấy vô lí vì không thể đổi màu đỉnh nào

Do n lẻ nên xét $n \geq 5$ đặt $n=2k+1$ với $k \geq 2$

Lấy $S=(a_{i+1}>a_{i},i=\overline{1,n})$ thì $S_1=k$ còn $S_2=k+1$

Ta có nhận xét sau: 

+ Nếu lấy $1$ \mapsto $2$ hoặc $2 \mapsto 1$ thì $2$ ô kề là $(3,3)$, khi đó $S_1$ không đổi

+ Nếu lấy $2 \mapsto 3$ hoặc $3 \mapsto 2$ thì $2$ ô kề là $(1,1)$, khi đó $S_1$ không đổi

+ Nếu lấy $1 \mapsto 3$ hoặc $3 \mapsto 1$ thì $2$ ô kề là $(2,2)$, khi đó $S_1$ tăng $2$ hoặc giảm $2$

Như vậy ta thấy rõ ràng $S_1$ bất biến theo $mod$ $2$

Mặt khác $S_2\not\equiv S_1 (mod 2)$ nên $S_2$ không thể đạt được sau hữu hạn lần biến đổi ở $S_1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 03-09-2018 - 10:58


#11 nguyenhaan2209

nguyenhaan2209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Châu Âu
  • Sở thích:Algebra, Combinatoric, Geometry & Number Theory

Đã gửi 03-09-2018 - 13:04

Xong  :icon6:  Ngày $1$ bài $5$ phần $2$

a) Lấy 2 điểm $A,B$ bất kì của đa giác.
Xét điểm $D_i=\widehat{AC_iB}$ trong $2n+1$ điểm còn lại thì không có $D_i$ nào trùng nhau do không có $4$ điểm nào đồng viên
Theo nguyên lí cực hạn, ta có thể sắp thứ tự chúng theo thứ tự tăng dần và ta lấy $D_{n+1}$ và vẽ đg tròn qua $A,B,D_{n+1}$ thì đg tròn này tm
b) Với $n$ điểm trong đg tròn $(C)$, đoạn thẳng nối chúng không có điểm chung với $(C)$
Với $n$ điểm nằm ngoài đường tròn $(C)$, chú ý mỗi đoạn thẳng cắt $1$ đg tròn tại tối đa $2$ điểm
Với $n$ điểm nằm ngoài $(C)$, nối chúng với $n$ điểm trong $(C)$ thì được $n^2$ giao điểm
Bây giờ ta tìm số giao điểm tối đa tạo ra từ $n$ điểm nằm ngoài đường tròn
Ta sẽ giải quyết bài toán sau: Cho $1$ đường tròn cố định và $n$ điểm nằm ngoài nó. Tìm số giao điểm tối đa có thể nối bởi $2$ điểm bất kì trong $n$ điểm này
Mỗi đoạn thẳng tạo ra $0$ hoặc $2$ giao điểm, ta sẽ xây dựng để có đúng $2.C(2,n)$ điểm chung giữa $(C)$ và các đoạn nối như sau:
Lấy $n$ điểm trên đường tròn chia nó thành $n$ cung bằng nhau là $A_1,.., A_n$. Từ $n$ điểm kẻ các tiếp tuyến đa tạo thành đa giác ngoại tiếp $n$ đỉnh
Gọi $(O)$ là tâm của $(ABC)$ , gọi đa giác ngoại tiếp là $B1..B_n$.  
Theo nguyên lí cực hạn tồn tại $d=max(OA_i/OB_i)$, lấy điểm $D_1$ trên $A_1B_1$ khác $A_i, B_i$
Thực hiện phép vị tự tâm $(O)$ xây dựng các $D_i$ còn lại thì ta có đa giác $D_1...D_n$ thỏa mãn
Vậy số giao điểm tổi đa là $2n^2-n$ giữa $(C)$ và $2n$ điểm này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 03-09-2018 - 13:05


#12 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Thích phương trình hàm và ghéc những thằng đòi học sớm 5p

Đã gửi 13-09-2021 - 09:56

 

Bài $3$: Ặc  :wacko: 

$f(y)f(x+f(y))=f(x)f(xy)$ $(1)$
Gọi $P(u,v)$ là phép thế $x$ bởi $u$, $y$ bởi $v$ vào $(1)$. Đặt $f(1)=a$
$P(x,1): f(x+a)=f(x)^2/a$

 

Cần kiểm tra thêm trường hợp $f(1)=0$, khi đó thay $y=1$ ta được $f(y)=0$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh