Cho A và B là hai ma trận thực vuông cấp n thỏa mãn: $A^{2}+B^{2}=AB$
Chứng minh rằng nếu: (BA-AB) khả đảo thì n chia hết cho 3.
Cho A và B là hai ma trận thực vuông cấp n thỏa mãn: $A^{2}+B^{2}=AB$
Chứng minh rằng nếu: (BA-AB) khả đảo thì n chia hết cho 3.
"Attitude is everything"
Cho A và B là hai ma trận thực vuông cấp n thỏa mãn: $A^{2}+B^{2}=AB$
Chứng minh rằng nếu: (BA-AB) khả đảo thì n chia hết cho 3.
Gọi $\r$ là một nghiệm phức nào đó của phương trình $r^2-r+1=0$ và $r'$ là nghiệm còn lại của phương trình trên.
Khi đó, $A^2-rBA-r'AB+B^2=(A-r B)(A-r'B).$
Vì $A^2+B^2=AB$ và $1-r'=r\neq 0$ nên
$$ (BA-AB)=\frac{1}{r}(A-r B)(A-r'B).$$
Hơn nữa, vì $A, B\in M_n(\mathbb{R})$ nên $(A-rB)* =A-r'B$ (ma trận liên hiệp).
Do đó $\det(BA-AB)=\frac{1}{r^n} \left|\det(A-rB)\right|^2$(modun).
Vì $\det(BA-AB)$ là một số thực khác $0$ nên $\frac{1}{r^n}$ là một số thực khác $0$. Suy ra $n$ là số tự nhiên chia hết cho $3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 19-10-2017 - 12:05
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh