Đến nội dung

Hình ảnh

$ f(n) | p^{n}-1 $

- - - - - lớp 11

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
supernatural1

supernatural1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

1, Cho $p$ là số nguyên tố, tìm tất cả các đa thức $f(x)$ có hệ số nguyên sao cho $f(n) \mid p^{n}-1$ với mọi số nguyên dương $n.$

2, Tìm $n \in \mathbb{N^*}$ sao cho tồn tại vô hạn số nguyên $x$ sao cho: $1+x+x^{2}+...x^{n} \mid 1+x^{1!}+x^{2!}+...+x^{n!}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 24-10-2017 - 22:45


#2
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

bài 1 : do $a- b | f(a) - f(b) $ nên $f(n) | f(n+f(n))$ . Vậy từ đây ta có $ f(n) | p^n - 1 , f(n) | p^{n+f(n)}-1$ nên $f(n) | p^{gcd(n,f(n))}-1$ . Chọn $n$ sao cho $gcd (n, f(0)) = 1$ , ta nhận được $f(n) |p-1$ với vô hạn giá trị của $n$

Gọi $d_1,d_2,..,d_k$ là các ước của $p-1$ . Khi đó $f(n) = d_i$ với vô hạn giá trị của $n$ , suy ra tồn tại $1 \leq j \leq k$ để $f(n) = d_k$ với vô hạn giá trị của $n \implies f(n) = c$ với $c | p-1$ 

Bài 2 : Đặc $P(x) = 1+x^{1!}+..+x^{n!}$ , $Q(x) = 1+x+x^2+..+x^n$ . Xét $P(x) = Q(x) .R(x) +S(x)$ với $deg S < deg Q$ . $P(n)$ chia hết $Q(N)$ với vô hạn $n$ , nên $Q(n) | S(n)$ với vô hạn giá trị của $n$ . Thật vậy , khi $n $ đủ lớn thì $|S(n)| < Q(n)$ , nên $S \equiv 0$ , suy ra $Q(x) | P(x)$ 

Xét $\varepsilon $ là căn đơn vị của $n+1$ , ta có $\varepsilon $ là nghiệm của $Q(x)$ , nên cũng đồng thời là nghiệm của $P(x) $ . Ta có nếu $a \equiv b$ (mod $n+1$) thì $\varepsilon ^{a} = \varepsilon ^{b}$ Giả sử $(1! , 2! ,.. , n!) \equiv (a_1,a_2,..,a_n) $ (mod $n+1$ ) , khi đó $0 = P(\varepsilon ) = \varepsilon ^{a_1}+..+\varepsilon ^{a_n} = T(\varepsilon )$ với $T(x) = x^{a_1}+..+x^{a_n}$ . 

Suy ra $Q(x) | T(x)$ , nên $(0,1! , 2! , .. , n!)$ lập thành hệ thặng dư đầy đủ mod $n+1$ . Từ đây suy ra được $n+1$ là số nguyên tố , hoặc $n +1= 4$ ,  vì nếu $n+1$ là hợp số lớn hơn 4 , ta xét 2 trường hợp :

TH1 : $n +1 = a.b ; a,b$ phân biệt , trong biểu diễn $n!$ chứa cả $a,b$ nên $ n+1 = ab | n!$

TH2 : $ n = p^2 , p$ là số nguyên tố lẻ . Khi đó trong biểu diễn của $n!$ chứa có $p$ lẫn $2p$ , nên $n+1 = p^2 | 2p^2 | n!$ 

Vậy ta có $0 \equiv n! $ (mod $n+1$) với mọi $n+1$ là hợp số lớn hơn 4 . Vậy ta xét $n+1 = 4$, tức là $n = 3$ , ta có $2! \equiv 3!$ (mod 4)$ nên trường hợp này bị loại

Xét $p$ lẻ

 Ta có $(p-1)! \equiv -1 $ (mod $p$ ) theo định lý wilson , nên $(p-2)! \equiv 1 \equiv 1! $ (mod $p$ ) . Từ đây suy ra $p-2 = 1 $ , nên $p = 3 \implies n = 2$

Khi $p$ chẵn thì $n = 3$ không thỏa mãn như đã chỉ ở trên  

Vậy $ n= 1,2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 24-10-2017 - 22:45


#3
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

bài 1 :

Bài 2:

Đầu tiên mình xin lỗi thời gian qua bận quá chưa lên chấm bài PSW nhanh được.

 

Về bài của em, nhìn chung là tạm ổn rồi nhưng có 1 số chỗ em hay đánh tráo khái niệm các giả thiết với điều cần suy ra. Ví dụ em thử giải thích thêm xem tại sao

 

$0 = P(\varepsilon ) = \varepsilon ^{a_1}+..+\varepsilon ^{a_n} = T(\varepsilon )$ với $T(x) = x^{a_1}+..+x^{a_n}$ . 

Suy ra $Q(x) | T(x)$

Về suy luận chung là cái này không đúng, giả dụ,

$$3 \phi_{9}(x) =3( x^6 + x^3 + 1) = x^6 + x^3 + 1+x^6 + x^3 + 1+x^6 + x^3 + 1 $$

(đủ 9 số hạng) nhận $e^{2\pi i/9}$ làm nghiệm, nhưng ta thấy rõ ràng

$$1+x+\cdots + x^8 \not |  x^6 + x^3 + 1. $$

Em nên vào sửa lại chỗ này. Ví dụ trên lấy ý tưởng từ các 'đa thức phân cầu':

https://en.wikipedia...omic_polynomial

 

Còn ở bài 1, đến đoạn

 

 

$f(n) |p-1$ với vô hạn giá trị của $n$

Em nên lí luận rằng nếu $f$ là đa thức khác hằng thì $\lim_{n\to \infty} f(n) = \pm \infty$, nên không thể tồn tại dãy tăng các giá trị của $n$ thỏa mãn điều kiện trên. Vậy $f$ là đa thức hằng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 25-11-2017 - 08:16

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#4
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

vâng cảm ơn anh ,  cái bài đầu hôm trước em cũng có nhớ ra xong về nhà lại quên mất nên k sửa 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 11

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh