Chủ đề này có 1 trả lời

[Drago]

Tìm hàm số $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn $f(x).f(x+y)=f(2x+y)-xf(x+y)+x$

[pcoVietnam02]

Gọi $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm $f(x)f(x+y)=f(2x+y)-xf(x+y)+x$

 

Nếu $f(0)\ne 1$, $P(0,x)$ $\implies$ $f(x)=0$ $\forall x$, thử lại không thỏa mãn.

Suy ra $f(0)=1$

 

$P(x,-2x)$ $\implies$ $f(x)f(-x)=1-xf(-x)+x$

$P(-x,2x)$ $\implies$ $f(x)f(-x)=1+xf(x)-x$

Trừ vế theo vế, ta được $f(-x)=2-f(x)$ $\forall x\ne 0$, vẫn đúng với $x=0$

 

Do đó $P(-x,2x)$ trở thành $f(x)(2-f(x))=1+xf(x)-x$

Suy ra $(f(x)-1)(f(x)+x-1)=0$ $\forall x$

Do đó $\forall x$, $f(x)=1$ hoặc $f(x)=1-x$

 

Giả sử $\exists u,v\ne 0$ thỏa mãn $f(u)=1$ và $f(v)=1-v$

$P(v,u-v)$ $\implies$ $f(u+v)=1-v$ suy ra :

Với $f(u+v)=1$ $\Rightarrow$ $v=0$

Với $f(u+v)=1-u-v$ $\Rightarrow$ $u=0$

Vì thế không tồn tại $u,v$ . Như vậy ta có các đáp án sau:

$\boxed{f(x)=1\text{  }\forall x}$ thử lại thấy thỏa mãn.

$\boxed{f(x)=1-x\text{  }\forall x}$ , thử lại thấy thỏa mãn.