Cho $x^{2}+y^{3} \geq x^{3}+y^{4}$. Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}\leq 2$
#1
Đã gửi 24-10-2017 - 20:47
- souhh và Nguyenduchieu thích
Sách không đơn thuần chỉ là những trang giấy mà trong đó còn chứa đựng một thế giới mà con người luôn khao khát được khám phá ...
#2
Đã gửi 24-10-2017 - 22:00
Bạn thử xem lại đề bài xem có điều kiện $x;y>0$ không. Nếu có điều kiện đó thì:
Áp dụng bất đẳng thức C-S:
$(x^{3}+y^{3})^{2}\leq (x^{3}+y^{4})(x^{3}+y^{2})\leq (x^{2}+y^{3})(x^{3}+y^{2})\leq \frac{(x^{2}+y^{3}+y^{2}+x^{3})^{2}}{2}$
$\Rightarrow (x^{3}+y^{3})^{2}\leq \frac{(x^{2}+y^{2}+x^{3}+y^{3})^{2}}{4}$
$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$
Ta có:
$(x^{2}+y^{2})^{2}\leq (x^{3}+y^{3})(x+y)\leq (x^{2}+y^{2})(x+y)$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$
Ta có:
$(x+y)^{2}\leq (x^{2}+y^{2})(1+1)\leq 2(x+y)$
$\Rightarrow x+y\leq 2$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi souhh: 24-10-2017 - 22:04
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cauchy
Toán Đại cương →
Giải tích →
Nghiệm lại định lý Cauchy với hàm số $f(x)=e^x ; g(x) = \frac{x^2}{1+x^2} \quad x \in [-3;3]$Bắt đầu bởi Tinhy, 01-04-2023 cauchy |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
Cho $f(x)+f(y)=f(a)+f(b)$ với $x+y=a+b$. CMR: $f(x)=mx+n$Bắt đầu bởi Explorer, 16-02-2023 phương trình hàm, cộng tính và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
ai giải cho e bài này dc k ạ e bí quáBắt đầu bởi bakhoa2004, 01-12-2018 bdt, cauchy |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng $\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$Bắt đầu bởi Jiki Watanabe, 26-04-2018 cauchy, lớp 9, ngược dấu |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab \leq 2016$Bắt đầu bởi Jiki Watanabe, 16-04-2018 bất đẳng thức, lớp 9, cauchy |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh