Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}\leq 2$

cauchy

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Jiki Watanabe

Jiki Watanabe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Cho $x^{2}+y^{3} \geq x^{3}+y^{4}$. Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}\leq 2$


    ~O)  Sách không đơn thuần chỉ là những trang giấy mà trong đó còn chứa đựng một thế giới mà con người luôn khao khát được khám phá ...  ^_^


#2
souhh

souhh

    Binh nhì

  • Pre-Member
  • 12 Bài viết

Bạn thử xem lại đề bài xem có điều kiện $x;y>0$ không. Nếu có điều kiện đó thì:

Áp dụng bất đẳng thức C-S: 

$(x^{3}+y^{3})^{2}\leq (x^{3}+y^{4})(x^{3}+y^{2})\leq (x^{2}+y^{3})(x^{3}+y^{2})\leq \frac{(x^{2}+y^{3}+y^{2}+x^{3})^{2}}{2}$

$\Rightarrow (x^{3}+y^{3})^{2}\leq \frac{(x^{2}+y^{2}+x^{3}+y^{3})^{2}}{4}$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$

Ta có:

$(x^{2}+y^{2})^{2}\leq (x^{3}+y^{3})(x+y)\leq (x^{2}+y^{2})(x+y)$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$

Ta có:

$(x+y)^{2}\leq (x^{2}+y^{2})(1+1)\leq 2(x+y)$

$\Rightarrow x+y\leq 2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi souhh: 24-10-2017 - 22:04






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cauchy

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh