SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT
BÌNH ĐỊNH Khóa ngày: 22-10-2017
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Thi ngày: 22/10/2017
Bài I: (5,0 điểm)
1. Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^2}}{2}}=1-2x^2$
2. Cho đa thức $f(x)=x^2+px+q$ với $p,q\in Z$. Chứng minh rằng tồn tại $k\in Z$ sao cho $f(k)=f(2017).f(2018)$.
Bài II. (4,0 điểm)
Xét số tự nhiên $A_{n}=2016.2016...2016$ gồm $n$ số $2016$ viết liên tiếp nhau $(n\in N^*)$.
a) Chứng minh rằng số $A_{1008}$ chia hết cho $2017$.
b) Gọi $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $A_{k}$ chia hết cho $2017$. Chứng minh rằng $2016$ chia hết cho $2k$.
Bài III: (4,0 điểm)
Cho dãy $(x_{n})$ thỏa:
\begin{align}
\begin{cases}
x_{0}&=2 \\
x_{n+1}&= \frac{2x_{n}+1}{2+x_{n}},\forall n\in N
\end{cases}
\end{align}
a) Tìm số hạng tổng quát $x_{n}$.
b) Tìm phần nguyên của $S_{n}=x_{0}+x_{1}+...+x_{n}$
Bài IV: (4,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn không đều có trực tâm $H$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ cắt $OH$ tại $N$. Gọi $K$ là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$, $M$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$. Chứng minh: $K$, $M$, $N$ thẳng hàng.
Bài V: Trong tập hợp các số tự nhiên có $4$ chữ số ta chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho $7$ và số chữ hàng đơn vị bằng $1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 28-10-2017 - 22:03