Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Chứng minh rằng: $\forall 0\leq k< n$ thì ta có: $C_{2n+k}^{n}.C_{2n-k}^{n}\leq \left ( C_{2n}^{n} \right )^{2}.$

[chanhquocnghiem]

Chứng minh rằng: $\forall 0\leq k< n$ thì ta có: $C_{2n+k}^{n}.C_{2n-k}^{n}\leq \left ( C_{2n}^{n} \right )^{2}.$

Điều cần chứng minh tương đương với :

$\left [ \frac{(2n+k)(2n+k-1)(2n+k-2)...(n+k+1)}{n!} \right ]\left [ \frac{(2n-k)(2n-k-1)(2n-k-2)...(n-k+1)}{n!} \right ]\leqslant \left [ \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)...(n+1)}{n!} \right ]^2$

$\Leftrightarrow \left [ (2n+k)(2n-1+k)(2n-2+k)...(n+1+k) \right ]\left [ (2n-k)(2n-1-k)(2n-2-k)...(n+1-k) \right ]\leqslant \left [ (2n)(2n-1)(2n-2)...(n+1) \right ]^2$

Bất đẳng thức sau cùng là hiển nhiên đúng vì ta có $(A+k)(A-k)\leqslant A^2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $k=0$