Chủ đề này có 1 trả lời

[Coppy dera]

Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

$\sqrt{1+2cosx}+\sqrt{1+2sinx}=m$

[trambau]

Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

$\sqrt{1+2cosx}+\sqrt{1+2sinx}=m$

Hàm số $\sqrt{1+2cosx}+\sqrt{1+2sinx}=y$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ nên ta chỉ cần tìm m có nghiệm $x\in[-\pi;\pi]$

Kết hợp $x\in[-\pi;\pi]$ với điều kiện PT có nghĩa => $\frac{-\pi}{6}\leq x\leq \frac{2\pi}{3}$ xét biểu thức $z=y^2=[\sqrt{1+2cosx}+\sqrt{1+2sinx}]^2$ $\Leftrightarrow z=2+2(sinx+cosx)+2\sqrt{1+2(sinx+cosx)+4sinxcosx}$ 

Đặt $t=sinx+cosx\in[\frac{\sqrt{3}-1}{2},\sqrt{2}]$ với mọi $\frac{-\pi}{6}\leq x\leq \frac{2\pi}{3}$ khi đó $z=2+2t+2\sqrt{2t^2+2t-1}\Rightarrow z'=2+\frac{2(2t+1)}{\sqrt{2t^2+2t-1}}>0$ 

$\Rightarrow z(t)$ đồng biến trên $[\frac{\sqrt{3}-1}{2},\sqrt{2}]$ $\Rightarrow z_{min}=z(\frac{\sqrt{3}-1}{2})=1+\sqrt{3}$

$z_{max}=z(\sqrt{2})=4(1+\sqrt{2})$

Vậy phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \sqrt{1+\sqrt{3}}\leq m\leq 2\sqrt{1+\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 12-11-2017 - 22:04