Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min: $x+y$

bất đẳng thức cực trị giá trị nhỏ nhất

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
souhh

souhh

    Binh nhì

  • Pre-Member
  • 12 Bài viết

Cho $x;y>0$ thỏa mãn: $\sqrt{xy}(x-y)=x+y$

Tìm min: $x+y$



#2
HoangPhuongAnh

HoangPhuongAnh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết

Ta có: $\sqrt{xy}.(x-y)=x+y <=> xy.(x-y)^2 = (x+y)^2$

Đặt $ a=x+y  và   b=xy $ btvt:

$b.(a^2-4b)=a^2 <=> a^2=\frac{4b^2}{b-1}=4.(b-1+\frac{1}{b-1}+2)\geq 4.(2.\sqrt{(b-1).\frac{1}{b-1}}+2) =16$

Dấu "=" xảy ra <=> $\left\{\begin{matrix} a^2=16 & \\ (b-1)^2=1 & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} a=4 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} x=2+\sqrt{2} & \\y=2-\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

Vậy min x+y là 4

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangPhuongAnh: 16-11-2017 - 00:28






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cực trị, giá trị nhỏ nhất

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh