Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ cố định với $B, C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $E,F$ lần lượt đối xứng $B,C$ qua $CA,AB$. $M$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.
Screen Shot 2017-11-19 at 10.06.47 PM.png
Kẻ đường cao $BX,CY$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.
Do $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}$ nên $2$ đường đẳng giác trong góc $\widehat{EAF}$ cũng đẳng giác góc $\widehat{BAC}$.
Ta sẽ chứng minh đường đối trung góc $A$ của tam giác $EAF$ đi qua giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $(HBC)$ cố định
Nghịch đảo cực $A$ phương tích $\overline{AX}.\overline{AC}$ ta thu được bài toán sau: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và điểm $I$ trên phân giác góc $A$. Giả sử $(IAB),(IAC)$ lần lượt cắt lại $AC,AB$ tại điểm thứ hai lần lượt là $X,Y$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $I$ và trung điểm của $XY$ đi qua giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$
]
Giả sử $(IAB),(IAC)$ cắt lại $BC$ tại $R,S$. Gọi $M,N,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,XY,RS$
Gọi $O'$ là tâm của $(AXY)$. $U,V$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ và không chứa $A$ của $(O)$
Giả sử $NI$ cắt trung trực của $BC$ tại $T$. Ta chứng minh $T$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$
Ta có: $\widehat{IRS}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{ISR} \Rightarrow IR=IS $
$O'B^2-O'C^2=BS.BC-CR.CB=BC(BS-CR)=(BK+CK)(BK-CK)=KB^2-KC^2$
Suy ra $O'K \perp BC$ hay $O'I \perp BC$.
Ta có: $O'O \perp AV, AV \perp AU$ nên $O'O \parallel UI$. Và $O'I \parallel OU( \perp BC)$ nên $O'OUI$ là hình bình hành
Dễ có: $BY=CX$ nên $V \in (O') \Rightarrow \triangle VYX \sim \triangle VBC$
Áp dụng định lý $Thales$ ta có: $\dfrac{VO}{VT}=\dfrac{O'I}{VT}=\dfrac{NO'}{NV}=\dfrac{MO}{MV}$
Suy ra $\dfrac{OV}{OT}=\dfrac{OM}{OV}$ hay $OM.OT=OV^2$. Suy ra $T$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$
Trở lại bài toán: $AM$ cắt trung trực $BC$ tại $X$. Gọi $Y$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $(BHC)$
Do $AX,AY$ đẳng giác trong góc $A$ nên $\overline{OX}.\overline{OY}=R^2=const$ và $Y$ cố định nên $X$ cố định
Tóm lại $AM$ đi qua điểm $Y$ cố định