Chủ đề này có 7 trả lời

[caybutbixanh]

Đề bài: Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau:

$1,a_n=(\frac{n}{3n-1})^{2n-1};\\ 2,a_n=(\frac{n-1}{n+1})^{n(n+1)};\\ 3,a_n=\frac{1}{\ln(n!)};\\ 4,a_n=1-\cos(\frac{1}{\sqrt{n}});$

[chanhquocnghiem]

Đề bài: Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau:

$1,a_n=(\frac{n}{3n-1})^{2n-1}$

Với mọi $n\in\mathbb{N}^*$, ta có $\left ( \frac{n}{3n-1} \right )^{2n-1}\leqslant \left ( \frac{1}{2} \right )^{2n-1}$

Mà chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{2} \right )^{2n-1}$ hội tụ nên chuỗi đang xét cũng hội tụ.

[An Infinitesimal]

Đề bài: Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau:

$1,a_n=(\frac{n}{3n-1})^{2n-1};\\ 2,a_n=(\frac{n-1}{n+1})^{n(n+1)};\\ 3,a_n=\frac{1}{\ln(n!)};\\ 4,a_n=1-\cos(\frac{1}{\sqrt{n}});$

 

Bài 1: Nên dùng tiêu chuẩn Cauchy

Bài 2: Nên dùng tiêu chuẩn Cauchy. Giới hạn liên quan là $e^{-2}<1.$

Bài 4: Dùng tiêu chuẩn so sánh nhờ BĐT $\cos x\ge  1- \frac{1}{2}x^2, \forall x\in \mathbb{R}.$

[chanhquocnghiem]

Đề bài: Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau:

$2,a_n=(\frac{n-1}{n+1})^{n(n+1)}$

Ta có :

$a_{n+1}=\left ( \frac{n}{n+2} \right )^{n^2+3n+2}$

$a_n=\left ( \frac{n-1}{n+1} \right )^{n^2+n}$

Gọi $D=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$

$\Rightarrow D=\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n^{n^2+3n+2}.(n+1)^{n^2+n}}{(n+2)^{n^2+3n+2}.(n-1)^{n^2+n}} \right )=\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n^2+n}{n^2+n-2} \right )^{n^2+n}.\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n}{n+2} \right )^{2n+2}$

Mà $\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n^2+n}{n^2+n-2} \right )^{n^2+n}=\lim_{n\to\infty}\left ( 1+\frac{2}{n^2+n-2} \right )^{2.\frac{n^2+n-2}{2}+2}=e^2$

Và $\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+2}{n} \right )^{2n+2}=\lim_{n\to\infty}\left ( 1+\frac{2}{n} \right )^{4.\frac{n}{2}+2}=e^4$

Vậy $D=\frac{e^2}{e^4}=\frac{1}{e^2}< 1$

Theo tiêu chuẩn D' Alembert thì chuỗi đang xét hội tụ.

[An Infinitesimal]

Ta có :

$a_{n+1}=\left ( \frac{n}{n+2} \right )^{n^2+3n+2}$

$a_n=\left ( \frac{n-1}{n+1} \right )^{n^2+n}$

Gọi $D=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$

$\Rightarrow D=\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n^{n^2+3n+2}.(n+1)^{n^2+n}}{(n+2)^{n^2+3n+2}.(n-1)^{n^2+n}} \right )=\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n^2+n}{n^2+n-2} \right )^{n^2+n}.\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n}{n+2} \right )^{2n+2}$

Mà $\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n^2+n}{n^2+n-2} \right )^{n^2+n}=\lim_{n\to\infty}\left ( 1+\frac{2}{n^2+n-2} \right )^{2.\frac{n^2+n-2}{2}+2}=e^2$

Và $\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+2}{n} \right )^{2n+2}=\lim_{n\to\infty}\left ( 1+\frac{2}{n} \right )^{4.\frac{n}{2}+2}=e^4$

Vậy $D=\frac{e^2}{e^4}=\frac{1}{e^2}< 1$

Theo tiêu chuẩn D' Alembert thì chuỗi đang xét hội tụ.

 

Bài này dùng tiêu chuẩn d'Alembert cồng kềnh hơn tiêu chuẩn Cauchy.

 

Đề bài: Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau:

$\\ 3,a_n=\frac{1}{\ln(n!)};$

 

Dùng tiêu chuẩn so sánh thông qua đánh giá $\ln n! \le n\ln n, n\ge 2,$ và chuỗi $\sum_{n\ge 2}\frac{1}{n\ln n}$ phân kỳ (theo tiêu chuẩn tích phân).

[caybutbixanh]

Bài 1: Nên dùng tiêu chuẩn Cauchy

Bài 2: Nên dùng tiêu chuẩn Cauchy. Giới hạn liên quan là $e^{-2}<1.$

Bài 4: Dùng tiêu chuẩn so sánh nhờ BĐT $\cos x\ge  1- \frac{1}{2}x^2, \forall x\in \mathbb{R}.$

anh có thể làm cụ thể được không ??? Em mày mò mãi vẫn chưa ra......

[An Infinitesimal]

anh có thể làm cụ thể được không ??? Em mày mò mãi vẫn chưa ra......

 

Bài 4: $1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\ge \frac{1}{2n}>0.$

Em có thể tự làm tiếp rồi chứ?

[An Infinitesimal]

Bài 4: $1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\ge \frac{1}{2n}>0.$

Em có thể tự làm tiếp rồi chứ?

Có chút sai sót! Phải đánh giá $\cos x\le 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}, \forall x\in [0,1]$.

 

$1-\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\ge \frac{1}{2n}-\frac{1}{6\sqrt{n^3}}>0.$