Chủ đề này có 6 trả lời

[caybutbixanh]

Tính các tích phân sau:

$1,\int_{-3}^{3} \frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}};\\ 2,\int_0^{2} \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{2-x}}dx;$

[chanhquocnghiem]

Tính các tích phân sau:

$1,\int_{-3}^{3} \frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}$

$I=\int_{-3}^{3}\frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}=2\int_0^3\frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}=2\lim_{\varepsilon \to0^+}\int_0^{3-\varepsilon }\frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}$

Tính $\int \frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}$ :

$\int \frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}=\int \left ( x.\frac{xdx}{\sqrt{9-x^2}} \right )=-x\sqrt{9-x^2}+\int \sqrt{9-x^2}\ dx$

$=-x\sqrt{9-x^2}+\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3}+C=\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3}-\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+C$

Vậy $I=2\lim_{\varepsilon \to0^+}\int_0^{3-\varepsilon }\frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}=2\lim_{\varepsilon \to0^+}\left ( \frac{9}{2}\arcsin\frac{3-\varepsilon }{3}-\frac{3-\varepsilon }{2}\sqrt{9-(3-\varepsilon )^2} \right )=\frac{9}{2}\ \pi$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 21-11-2017 - 16:10

[chanhquocnghiem]

Tính tích phân sau:

$\int_0^{2} \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{2-x}}dx;$

$I=\int _0^2\sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\ dx=\int _0^2\frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}}\ dx=\lim_{\varepsilon \to0^+}\int _0^{2-\varepsilon }\frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}}\ dx$

$=\lim_{\varepsilon \to0^+}\left ( 2\arcsin\frac{x}{2}-\sqrt{4-x^2} \right )\Bigg|_0^{2-\varepsilon }=\pi+2$

[caybutbixanh]

$I=\int_{-3}^{3}\frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}=2\int_0^3\frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}=2\lim_{\varepsilon \to0^+}\int_0^{3-\varepsilon }\frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}$

Tính $\int \frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}$ :

$\int \frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}=\int \left ( x.\frac{xdx}{\sqrt{9-x^2}} \right )=-x\sqrt{9-x^2}+\int \sqrt{9-x^2}\ dx$

$=-x\sqrt{9-x^2}+\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3}+C=\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3}-\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+C$

Vậy $I=2\lim_{\varepsilon \to0^+}\int_0^{3-\varepsilon }\frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}=2\lim_{\varepsilon \to0^+}\left ( \frac{9}{2}\arcsin\frac{3-\varepsilon }{3}-\frac{3-\varepsilon }{2}\sqrt{9-(3-\varepsilon )^2} \right )=\frac{9}{2}\ \pi$

chú ơi..cho con hỏi kĩ một tí : tại sao $\lim_{a\rightarrow 3^-} \arcsin(\frac{a}{3})=\frac{\pi}{2}$ mà không phải bằng $\frac{-\pi}{2}$ ??

[chanhquocnghiem]

chú ơi..cho con hỏi kĩ một tí : tại sao $\lim_{a\rightarrow 3^-} \arcsin(\frac{a}{3})=\frac{\pi}{2}$ mà không phải bằng $\frac{-\pi}{2}$ ??

$a$ tiến đến $3^-$ tức là $a$ tiến sát đến $3$ nhưng "hơi nhỏ hơn $3$ một chút"

Như vậy $\frac{a}{3}$ "hơi nhỏ hơn $1$ một chút"

Do đó $\arcsin\frac{a}{3}$ sẽ tiến đến $\arcsin 1$, tức là tiến đến $\frac{\pi}{2}$.

[Rias Gremory]

Tính các tích phân sau:

$1,\int_{-3}^{3} \frac{x^2dx}{\sqrt{9-x^2}}$

$x=3sint$

$\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{3sin^2tdt}{cost}=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{3sin^2td(sint)}{cos^2t}=\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{3sin^2td(sint)}{1-sin^2t}$

[Rias Gremory]

Tính các tích phân sau:

$2,\int_0^{2} \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{2-x}}dx;$

$\sqrt{\frac{2+x}{2-x}}=t\Rightarrow x=2-\frac{4}{t^2+1}\Rightarrow dx=\frac{8t}{(t^2+1)^2}dt$

$\int \frac{8t^2}{(t^2+1)^2}dt=\int \frac{8}{t^2+1}dt-\int\frac{8}{(t^2+1)^2} dt$

$t=tana$ ...