Đến nội dung


Hình ảnh

​$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq 1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Haht

Haht

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 24 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:LOL + Hát

Đã gửi 26-11-2017 - 21:35

Chứng minh với mọi a,b,c dương ta đều có:
$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq 1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$



#2 KietLW9

KietLW9

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 994 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Chelsea, Mason mount, Timo Werner

Đã gửi 04-05-2021 - 19:21

Chứng minh với mọi a,b,c dương ta đều có:
$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq 1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được: $\frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}+1\geqslant 2\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}=\frac{2a(b+c)}{\sqrt{a(b+c).(a^2+bc)}}\geqslant \frac{4a(b+c)}{a^2+bc+a(b+c)}=\frac{4a(b+c)}{(a+b)(a+c)}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc}\geqslant \frac{4[a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2]}{(a+b)(b+c)(c+a)}-3=\frac{4[(a+b)(b+c)(c+a)+4abc]}{(a+b)(b+c)(c+a)}-3=1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-05-2021 - 19:21

$\frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} - \frac{{14}}{{{{(a + b)}^2}}}=\frac{(a-b)^2(a^4+b^4+4a^3b+4ab^3-a^2b^2)}{a^2b^2(a^2+b^2)(a+b)^2}\geqslant 0\forall a,b>0$

Thiên tài cũng không là gì khác ngoài sự kiên trìnhẫn nại.

 Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh