Thượng úy
Bài $1$: Cho $A$ là ma trận vuông thực cấp n thỏa mãn điều kiện $A^2+I=0$. Chứng minh rằng các giá trị riêng của $A$ không phải là số thực
Bài $2$: Cho $A=[a_{ij}]$ là ma trận vuông cấp $n$ với $a_{ij}$ là các số nguyên chẵn. Chứng minh rằng $A$ không thể có giá trị riêng một số nguyên lẻ.
Bài $3$: Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} -1 & -7 & 5\\ -2 & -8 & 6\\ -4 & -16 & 12 \end{bmatrix}$. Hãy tìm một ma trận $B$ trên trường số thực sao cho $B^2=A$.
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Sĩ quan
Bài $1$: Cho $A$ là ma trận vuông thực cấp n thỏa mãn điều kiện $A^2+I=0$. Chứng minh rằng các giá trị riêng của $A$ không phải là số thực
Bài $2$: Cho $A=[a_{ij}]$ là ma trận vuông cấp $n$ với $a_{ij}$ là các số nguyên chẵn. Chứng minh rằng $A$ không thể có giá trị riêng một số nguyên lẻ.
Bài $3$: Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} -1 & -7 & 5\\ -2 & -8 & 6\\ -4 & -16 & 12 \end{bmatrix}$. Hãy tìm một ma trận $B$ trên trường số thực sao cho $B^2=A$.
Bài 1: Giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình $\lambda^2+1=0$ nên các giá trị riieng của $A$ là các số phức $i, -i$ .
Bài 2: Ta có $detA$ là số chẵn mà xét dạng chéo hóa Jordan của $A$ detA bằng tích các giá trị riêng nên các giá trị riêng không thể lẻ.
Thiếu úy
Bài 1: Giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình $\lambda^2+1=0$ nên các giá trị riieng của $A$ là các số phức $i, -i$ .
Bài 2: Ta có $detA$ là số chẵn mà xét dạng chéo hóa Jordan của $A$ detA bằng tích các giá trị riêng nên các giá trị riêng không thể lẻ.
Lập luận của bài 2 hoàn toàn sai. Việc định thức là số chẵn không liên quan gì đến việc không thể có giá trị riêng lẻ, vì nếu có một giá trị riêng khác là số chẵn thì định thức vẫn là số chẵn.
Bài $1$: Cho $A$ là ma trận vuông thực cấp n thỏa mãn điều kiện $A^2+I=0$. Chứng minh rằng các giá trị riêng của $A$ không phải là số thực
Bài $2$: Cho $A=[a_{ij}]$ là ma trận vuông cấp $n$ với $a_{ij}$ là các số nguyên chẵn. Chứng minh rằng $A$ không thể có giá trị riêng một số nguyên lẻ.
Bài $3$: Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} -1 & -7 & 5\\ -2 & -8 & 6\\ -4 & -16 & 12 \end{bmatrix}$. Hãy tìm một ma trận $B$ trên trường số thực sao cho $B^2=A$.
Ở bài 2 ta giả sử đa thức đặc trưng của $A$ là $$P(X)=X^{n}+b_{1}X^{n-1}+\dots+b_{n}$$ Vì tất cả thành phần của $A$ là số chẵn nên tất cả các hệ số $b_{1},\dots, b_{n}$ là số chẵn. Nếu $A$ có một giá tri riêng $\lambda$ là lẻ thì $P(\lambda)=0$ nhưng $\lambda^{n}$ là lẻ còn $b_{1}\lambda^{n-1}+\dots+b_{n}$ là chẵn, nên $P(\lambda)$ không thể bằng $0$, vô lý.
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Thiếu úy
Bài $1$: Cho $A$ là ma trận vuông thực cấp n thỏa mãn điều kiện $A^2+I=0$. Chứng minh rằng các giá trị riêng của $A$ không phải là số thực
Bài $2$: Cho $A=[a_{ij}]$ là ma trận vuông cấp $n$ với $a_{ij}$ là các số nguyên chẵn. Chứng minh rằng $A$ không thể có giá trị riêng một số nguyên lẻ.
Bài $3$: Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} -1 & -7 & 5\\ -2 & -8 & 6\\ -4 & -16 & 12 \end{bmatrix}$. Hãy tìm một ma trận $B$ trên trường số thực sao cho $B^2=A$.
Ở bài 3, ta chéo hóa ma trận $A$ và viết $A=J^{-1}CJ$ với $C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Như vậy chọn $B=J^{-1}DJ$ với $D=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ thì $B^{2}=A$.
Đối với việc chéo hóa ma trận $A$ và tìm ma trận $J$ đều đã có thuật toán cả nên mình không trình bày chi tiết nữa.
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Thượng úy
Bài 1: Giá trị riêng của $A$ là nghiệm của phương trình $\lambda^2+1=0$ nên các giá trị riieng của $A$ là các số phức $i, -i$ .
Tại sao lại có dòng màu đỏ này ạ, có phải đây là định lý Halminton - Celly không ạ?
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Đại úy
Tại sao lại có dòng màu đỏ này ạ, có phải đây là định lý Halminton - Celly không ạ?
Kết hợp thêm kết quả: mọi nghiệm của đa thức đặc trưng đều là nghiệm của đa thức tối tiểu.
Đời người là một hành trình...
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
