Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 2017 chữ số lấy từ tập {1;3;5;6;7;8;9}
Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 2017 chữ số lấy từ tập {1;3;5;6;7;8;9}
Started By ThuThao36, 29-11-2017 - 22:22
#1
Posted 29-11-2017 - 22:22
- DOTOANNANG likes this
"... Xin thầy dạy cho cháu biết cách chấp nhận thất bại và cách tận hưởng niềm vui chiến thắng...."
-Tổng thống Mỹ Abraham Lincoln-
#2
Posted 19-07-2023 - 11:28
Lấy$\pmod{3}$ các chữ số đã cho thì ta có hàm sinh :Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 2017 chữ số lấy từ tập {1;3;5;6;7;8;9}
$f(x)=(3+2x+2x^2)^{2017}$
Gọi $\omega =e^{2\pi i/3}$ là một căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị thì $\omega ^3=1$ và $1^k+\omega ^k+\omega ^{2k}=0$ nếu $3\nmid k$. Từ đó :
$f(1)=7^{2017}$
$f(\omega) =(3+2(\omega+\omega^2))^{2017}=1^{2017}$
$f(\omega^2) =(3+2(\omega^2+\omega^4))^{2017}=1^{2017}$
Và theo định lý RUF, suy ra số các số thỏa yêu cầu là :
$$N=\frac {f(1)+ f(\omega)+f(\omega^2) }{3}=\color{blue}\frac {7^{2017}+2}{3}$$
- hxthanh, chanhquocnghiem and DOTOANNANG like this
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#3
Posted 19-07-2023 - 13:00
Gọi $A_n$ là số các số có $n$ chữ số chia hết cho $3$ được lập từ các số đã cho
còn $B_n$ là các số có $n$ chữ số lập từ tập đã cho mà không chia hết cho $3$
Dễ thấy: $B_n=7^n-A_n$
$A_{n+1}=3A_n+2B_n=A_n+2.7^n$
$A_n=A_{n-1}+2.7^{n-1}$
…
$A_2=A_1+2.7$
$\Rightarrow A_n=3+2(7+…+7^{n-1})=\frac{7^n+2}{3}$
còn $B_n$ là các số có $n$ chữ số lập từ tập đã cho mà không chia hết cho $3$
Dễ thấy: $B_n=7^n-A_n$
$A_{n+1}=3A_n+2B_n=A_n+2.7^n$
$A_n=A_{n-1}+2.7^{n-1}$
…
$A_2=A_1+2.7$
$\Rightarrow A_n=3+2(7+…+7^{n-1})=\frac{7^n+2}{3}$
- E. Galois, chanhquocnghiem, DOTOANNANG and 1 other like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users