Chủ đề này có 2 trả lời

[ThuThao36]

Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 2017 chữ số lấy từ tập {1;3;5;6;7;8;9}

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 2017 chữ số lấy từ tập {1;3;5;6;7;8;9}

Lấy$\pmod{3}$ các chữ số đã cho thì ta có hàm sinh :
$f(x)=(3+2x+2x^2)^{2017}$
Gọi $\omega =e^{2\pi i/3}$ là một căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị thì $\omega ^3=1$ và $1^k+\omega ^k+\omega ^{2k}=0$ nếu $3\nmid k$. Từ đó :
$f(1)=7^{2017}$
$f(\omega) =(3+2(\omega+\omega^2))^{2017}=1^{2017}$
$f(\omega^2) =(3+2(\omega^2+\omega^4))^{2017}=1^{2017}$
Và theo định lý RUF, suy ra số các số thỏa yêu cầu là :
$$N=\frac {f(1)+ f(\omega)+f(\omega^2) }{3}=\color{blue}\frac {7^{2017}+2}{3}$$

[hxthanh]

Gọi $A_n$ là số các số có $n$ chữ số chia hết cho $3$ được lập từ các số đã cho
còn $B_n$ là các số có $n$ chữ số lập từ tập đã cho mà không chia hết cho $3$
Dễ thấy: $B_n=7^n-A_n$
$A_{n+1}=3A_n+2B_n=A_n+2.7^n$
$A_n=A_{n-1}+2.7^{n-1}$
…
$A_2=A_1+2.7$
$\Rightarrow A_n=3+2(7+…+7^{n-1})=\frac{7^n+2}{3}$